随机解释变量问题的预测与控制方法

王义闹

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州， 325035)

文[1]例4.3.2考虑劳动经济学领域中，劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定：

但在具体估计该模型时，由于劳动者个人能力的大小很难测度，因此该解释变量无法真正引入到模型中，于是它只能进入到随机干扰项中，即实际用于回归的模型为：

而个人能力的大小往往与其所受教育程度有较为密切的联系，这就导致了实际用于回归的模型（2）中劳动者个人的受教育程度与随机干扰项间出现同期相关性，这也是文[2]模型的一个简化.

我们容易得到wage、educ、exper的简单随机样本进而由工具变量法可以得到educ对wage的净影响1β的一致估计.

当我们要预测劳动者受教育年限为educ=c时工资的平均值：

一般地，本文考虑随机解释变量问题：

在经济学中常常作实证分析与边际分析.我们求得（4）中参数的满意估计，就满意地证实了变量y与之间具有规律（4），进而可作出满意的边际分析.除此之外，线性回归模型还被广泛用于预测与控制，这时充分利用随机解释变量与u线性相关的信息，可以用解释变量更好地解释被解释变量.本文定理5证明了：存在常数和随机变量v使

由于（4）式中有随机解释变量与随机误差项u线性相关，所以解释变量是确定性变量或解释变量是与随机误差项u同期不线性相关的随机变量条件下，u的条件期望为 0的假设不再成立.因为若有则

为严格证明（5）式的存在性，先讨论两个随机变量线性相关与一元线性回归之间的关系.

1 线性相关与线性回归的关系

定理1 当变量x,y都是随机变量，且二者线性相关系数时，必存在唯一一组常数以及随机变量使

使

特别，如果将定理1中的x,y限定为服从正态分布的随机变量，则有下面的定理2.

定理2 当变量x,y都是服从正态分布的随机变量，且二者相关系数时，必存在唯一一组常数以及与y相互独立的服从正态分布的随机变量u，使

定理3 设被解释变量y与随机解释变量x及随机误差项u之间有如下总体规律：

其中x,u线性无关，则其中常数b0,b1及随机变量u是唯一的，且y,x线性相关，y,u线性相关，相关系数为：

证明：若存在常数c0,c1及零均值随机变量v，使且x与v线性无关，则两式相减得求x与上式两端的协方差得于是上式成为两边取数学期望，由进而得u=v.

定理3表明解释变量是随机变量的一元线性回归问题中，在随机误差项均值为0，解释变量方差大于0且与随机误差项线性无关的条件下，总体规律的表达式是唯一的，且x,y必线性相关.

特别，如果将定理3中的x,y限定为服从正态分布的随机变量，则有下面的定理4.

定理1、2表明，线性相关的随机变量x,y之间一定有形如（8）式的唯一线性表示；定理3、4表明随机被解释变量y与随机解释变量x满足关系式（9）且随机解释变量x与随机误差项线性无关时，x,y之间的关系式（9）是唯一的，且随机变量x,y之间一定线性相关，相关系数由（10）式给出.这就是线性回归分析与线性相关分析的联系.

线性回归分析与线性相关分析的区别是，如果线性回归分析中的解释变量是确定性变量，线性相关分析（以下简称为相关分析）与线性回归分析（以下简称为回归分析）就没有任何关系；线性回归分析中解释变量与被解释变量之间是因果关系，而线性相关分析中两个变量都是随机的、且地位是可换的，两个变量之间不一定有单向因果关系.

2 变量之间数量关系的不同表达式

为把引言中的问题叙述清楚，再进一步讨论具有多元线性回归规律（4）的变量之间的数量关系的不同表达式.

定理5 考虑随机解释变量问题：

证明：根据定理1，由x1与u线性相关知，存在常数和0均值随机变量u1使

定理6 设总体规律为：

3 随机解释变量问题的预测方法

考虑随机解释变量问题：

在增加任意取定解释变量一组值的条件下，v的条件期望为 0的假设，并已知随机变量的容量为n的简单随机样本时，（21）式中的OLS估计量在随机向量取值的条件下是的有效估计、一致估计.

作为观察值

和随机变量y的条件期望

4 随机解释变量问题的控制方法

仍然考虑随机解释变量问题（19），并且假定被解释变量y、解释变量随机误差项u都服从正态分布.我们的目标是通过控制随机解释变量的值，以最大置信度将目标值y控制在之中.当然控制的前提是，我们对随机解释变量的控制，不改变随机解释变量的分布律，不改变随机被解释变量y与随机解释变量之间的关系（19），或者说，我们对不断干预、控制的结果呈现出统计规律性（19）.

就可以实现对被解释变量y的较好控制.