丰富量化比较建构“厘米”表象

浙江杭州市余杭区径山镇双溪中心小学 丁国成

在小学阶段，“长度单位”的教学主要是认识厘米、米、分米、毫米、千米，它们是小学数学计量单位教学的重要组成部分。为了帮助学生建立1厘米、1米、1分米、1毫米、1千米的表象，教材用了很大的篇幅来引导学生进行探究活动，让学生联系生活实际学习这几个长度单位，体会这些一个长度单位的实际大小。厘米是学习长度单位的起始课，在学习长度单位的知识、发展学生空间观念中起着举足轻重的作用。

一、学习错误透视见问题

尽管在课堂上学生能比画出1米、1毫米、1厘米、1分米的长短，但在实际运用时，学生的错误较多，比如在比画2厘米的长短时，竟有人伸出了手臂长的一段，或者会碰到这样让人哭笑不得的作业：一棵大树高10厘米。学生出现这样的错误，可能是我们的教学存在以下问题：

1.概念掌握：重“测量”轻“意义”

生活中长度单位是多样的，应用也非常广泛，只不过利用这些单位在交流过程中有些不便，需要统一。而经历从生活多样化到数学一般化的认识是研究的切入点。因此教师们很重视统一长度单位的必要性与物体长度的估计与测量，但忽视了厘米概念的实质性内涵：厘米是一个国际统一的度量长度单位。学生对厘米的理解，关于“国际统一”和“度量长度单位”的感悟非常弱。

2.表象建立：重“1厘米”轻“几厘米”

帮助学生建立1厘米长度的正确表象，能较好地使其建立估测标准，但对学生来说，并不能清晰描述和准确估计物体的长度，需要对5厘米、10厘米等有清晰的表象。而教学中教师往往重视1厘米表象的活动体验，忽视“几厘米”表象的支撑，使学生空间长度感知的基础表象过于单薄。1厘米与几厘米之间缺乏过渡，需要精准叠加的单位个数太多，最终导致表象不够清晰稳定，甚至会受其他因素干扰。

3.长度感估：重“活动”轻“思考”

教师重视开展估测的学习活动，也重视让学生先估再量，将答案进行比对，但往往忽视对感估方法的指导和多种感估通道的开发，使活动缺乏思维方法的交流和思维深度的提升，最终导致部分学生的空间感知能力不够准确。

二、丰富量化比较建构表象

怎样才能让学生理解并建立牢固的长度单位厘米的表象呢？长度单位表象的建立需要怎样的深层次的教学过程？学生要经过哪些学习体验呢?我们都知道：表象是事物不在面前时，人们在头脑中出现的关于事物的形象。对于抽象的数学知识，生动的直观形象毕竟只能为学生提供理解的起点，而表象的建立则有助于他们更快地摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡。对于抽象的长度单位的教学和解决长度单位的一些实际问题，正需要学生能通过建立深刻的、合理的表象，才能形成长度单位大小的意识，促进他们思维的发展和解决问题的能力。

1.关注厘米是度量长度的基本单位

对于度量，二年级的学生更关注量尺上直观的数字，对于一个抽象的度量单位和数据单位名称并不关注。因此，在练习与后续学习中，学生经常会出现错误，如在测量好物体的长度时经常会只写一个数字，没有单位名称。因此，在学习厘米时就要强调“厘米是度量长度的基本单位”。

（1）借助结论比较，厘清测量的实质

在体会统一度量单位后，让学生在厘米尺上找到1厘米，明确不止有0～1是1厘米，2～3、5～6都是1厘米。在进行测量时，将同样长度的物体摆放在厘米尺的不同位置，如测量3厘米的橡皮，可以放在0～3之间，这是最一般的测量方法。教师可以问：“还有不同的测量方法吗？”就会出现不同的方法，如可以放在3～6、7～10之间等，借助测量结果的比较引发学生的思考：橡皮的长度是多少？通过操作活动，观察与讨论，帮助他们厘清测量的实质：有几个1厘米就是几厘米。

（2）借助材料比较，明晰量物的本质

将实际长度并不相等的三个长方形放在直尺上，起点不同但终点都对着5厘米，来引发学生思考：“为什么三个长方形都对着5厘米，却只有第二个长方形的长度才是真正的5厘米呢？”通过观察比较、师生间的交流，明晰量物体的本质是“数出物体所占长度单位的个数”，而不是比终点刻度的大小。

2.精确1厘米表象，落实感估的基础

正确建立1个长度单位表象是提高长度量感的基础。由于二年级（7～8岁）学生的观察力在精确性方面还处于水平较低的阶段，他们还不能全面细致地感知客体的细节。因此，教师要特别关注使用策略，奠定一个精确而稳定的1厘米表象。

（1）借小棒之力，提高表象准确性

学生在量尺上能找到1厘米，但那个1厘米对学生来说是属于看得见摸不着的，根据学生的特点，具体的实物更符合学生的认知规律。借助学具（1厘米长的小棒），把量尺上的1厘米拿出来，把1厘米拿在手上看一看、玩一玩，把小棒拿在大拇指和食指之间，抽走小棒，观察两个手指间的距离，同桌之间比一比，经历形象感知到逐步抽象的过程，提高表象的准确性。

（2）借无尺想象，提高表象的稳定性

让学生脱离量尺，想象并在本子上刻画出1厘米长的线段，然后再与计量工具作比对，提高1厘米量感的稳定性。例如当学生能正确指认尺子上的1厘米后，要求他们不用量尺直接在空中比画或者在纸上徒手描出1厘米的长度，同桌之间量一量、比一比谁画的线段更接近1厘米。这种 “没有尺子比谁想得准”的小游戏竞赛，既能激发学生的学习兴趣，又能提高1厘米表象的稳定性。

（3）借认知冲突，提高表象的深刻性

如果仅仅设计“找找身边长度大约是1厘米物体”的活动来提高1厘米表象的准确性是不够的。因为这样建立起来的长度单位表象不够精准，不利于后续几个单位叠加时量感的培养。

我们可以设计如下活动，提供下列学习材料：直径为2厘米的硬币，棱长1厘米的小正方体，长5厘米的小包餐巾纸，高10厘米的水彩笔。活动要求：“老师在你们的学具袋里准备了一些东西。有些东西上就是1厘米的长度。你能不用尺子就把它们找出来吗”“谁的眼力最准？拿出尺子量一量，有刚好是1厘米的吗？”“5角硬币最宽处是1厘米长吗？量量看。”

由于在前面的概念学习中学生已经知道了1厘米是一个比较小的长度单位，因此他们在此任务型活动中，很容易将小小的硬币也列入1厘米长度的物体。借助反馈学生会发现熟悉的5角硬币最宽处竟有2个1厘米。这不仅精确了学生头脑中的1厘米表象，而且提供了很好的实物参照。学生会由衷地感叹：“1厘米这个长度单位可真小呀！”

3.积累几厘米表象，填补估测的缺陷

前面已经提到，仅强化1厘米表象并不能有效提高学生对长度的感估水平。物体的长度越长，也就是1厘米的个数越多，感估难度就越大。因此，教师要帮助学生积累一些几厘米的表象，在实践操作中知道一些常见的身边物体的长度。

（1）选取长度恒定物体，积累几厘米的通用性表象

教师可选取一些学生身边经常出现，并且长度、高度或厚度恒定不变的熟悉物品作为活动材料，帮助学生积累一些几厘米的通用性表象。

例如，让学生估一估、量一量、比一比，在活动中积累这些随处可见的参照物：小包装餐巾纸宽度是5厘米、水彩笔长度是10厘米、数学书的宽大约是18厘米，等等。

（2）选记身体固定部位，充实几厘米的个性化表象

虽然每个学生身体部位的长度不一定相同，但是借用自己熟知的身体某部位长度，可以充实一些几厘米的个性化表象，把自己的身体变成一把个性化的、随身携带的量尺，从而比较方便地度量和换算物体长度。

例如，开展小组活动，先估一估，再量一量，最后大家比比结果。积累自己身上随时可以调用的个性化身体尺：“我的一拃大约是14厘米”“我的脚长是23厘米”“我走一步大约35厘米”等，重点要找到手上的5厘米、10厘米和20厘米,这些厘米数一方面便于学生记忆，同时考虑到手的灵活性，手上的量尺拿用是最方便的。

4.完善估测方法，提高感估的合理程度

在日常生活中，估测是经常用到的，感估能力的培养非常重要。提高物体长度感估能力不仅需要准确的单位表象，还需要有合适的估测方法，两者缺一不可。在准确测量之前，可以让学生先估一估，给学生多次尝试、修正的机会。教师需要在丰富和完善学生的估测方法上下功夫，提高学生长度感估的合理程度。

（1）选物参照，减少测量值的误差

对较长的物体，直接使用几厘米的参照物作为单位去比量，可以减少单位个数，减少估测值的误差。

例如，教师可出示任务型活动：“我们已经知道小方块每条边都是1厘米，5角面值硬币的最宽处是2厘米。学具袋里还剩下餐巾纸和水彩笔。你能估出它们的长度吗？”然后让学生交流“你是怎么估的呢”，充分鼓励那些选物参照的估测方法，如“刚才硬币最宽处2厘米，我觉得餐巾纸包大概有2个硬币宽，所以4厘米差不多”。

（2）借物排除，框定测量值的区间

如直接估计物体长度有困难，可以借助已有量感的实物做比对，排除明显错误答案，可以框定测量值的合理区间。

例如在选择题中：①学生课桌的长度是（ ）。 A.60厘米，B.6厘米，②新华字典的厚度是（ ）。A.150厘米；B.5厘米。可让学生交流“你是怎么找到正确答案的”。学生反馈如① “我的手掌宽度大约是10厘米，课桌的长度比我的手掌长多了，所以B肯定是错的”；②“我的身高都只有130厘米，字典怎么可能比我的身高还高呢”。教师要充分肯定学生的想法，体会不同问题可以选择不同的解决方法，开阔学生的思路。♪