探究数学抽象概念活动经验的累积——以苏教版二下《有余数的除法》的教学为例

江苏省常州市金坛区华城实验小学 贺 伟

探究是以问题为导向的学习过程，也是一项重要的学习技能。2011版新课标指出：“数学活动经验的是在‘做’的过程中累积出来的”。获得数学活动经验不仅要重视“做”，也要重视“累积”，不仅仅是“做”的累积，也是在“做”的过程中不断“思考”的累积。因此，在具体教学中，加强探究活动的设计，不但要为学生创造动手体验的操作空间，也要创设引导学生总结归纳的思维空间，让学生经历数学模型构建的全过程。下面以苏教版二年级下册《有余数的除法》的教学为例，谈谈自己的一些实践和思考。

【片段1】创设问题情境，在行为操作中获取直观经验

1.提出问题，构建探究基础

2.归纳分类，建立数学概念

3.引导迁移，形成数学思维

课堂初始引导阶段，教师结合学生的生活创设情境——平均分文具，学生会根据自己的生活经验，在头脑中涌现出怎么给大家平均分的具体操作方法。学生能够自由地调用已有的数学知识和生活经验将10支铅笔平均分一分。紧接着，教师又组织学生尝试解决新问题“10支铅笔，如果每人分3支、4支、5支，分别分给几人呢？”学生在动手操作中发现，每人分3支、每人分4支，都有“多余”，有的“还剩1支”，有的“还剩2支”，从而队余数获得初步的感性认识和直接体验。学生在自己的实际操作和互相争论交流中，让“余数”这个概念逐渐成为一个看得见、摸得着、数得清的东西，初步建立起余数概念，“有余数的除法”的含义也在平均分的知识基础上悄然萌芽。

接着，老师鼓励他们尝试用除法算式来表示“像这样分了有剩余”的除法，学生自由想出了四种书写方式来表示“有剩余”的除法算式：第一种是10÷3=3（人），或10÷3=1（人）；第二种是9÷3=3（人）；第三种是10÷3=3（人）（剩1支）；第四种是10÷3=3……1。尽管学生书写的格式和方法有的是错误的，但是教师并没有简单地予以否定或不理睬，而是组织学生充分交流自己的想法和观点，充分暴露每个学生的原始思维状态。不仅帮助学生建立了正确直观经验，也让学生感知和体验了经验不断完善的过程。在这个过程中，学生的行为操作和思维操作相辅相成，缺一不可。

【片段2】融入抽象概念，在思维操作中形成数学经验

1.操作观察，感知数学经验

课件出示表格：

学生分小组摆放，进行全班交流。并根据学生交流填写好表格。

2.推理猜想，形成数学经验

3.操作验证，巩固数学经验

大家拿出小棒自己验证一下，可以摆放任意一个图形，看看是不是这个结果。

学生操作。交流（你摆的什么图形，每个图形用了几根小棒，剩下的不能超过几根）

师总结：余数要比除数小。余数不能等于除数，等于除数就能再除1次。当然余数更不能大于除数。

苏联教育家阿莫纳什维利指出：“儿童单靠动脑，只能理解和掌握知识，如果加上动手，他会明白知识的实际意义，如果再加上心灵的力量——认识的所有大门都将在他的面前敞开，知识将成为他能动地改造和创造的工具。”低年级学生的思维主要是以形象为主，需要借助直观的操作观察、直接的实践体验才能建立更丰富、更深刻的概念。课中教师组织学生动手操作探索：“用4根小棒摆1个正方形，8根小棒可以摆几个正方形？”“像这样用12、13、14、15或16根小棒摆正方形，结果会怎样？”学生的思维在操作中获得直观的经验支撑，认识在比较中趋于正确和深刻。接着通过比较分析综合概括，得出“剩下小棒的根数是1根、2根、3根”的结论。学生根据经由具体操作活动得到的清晰表象展开联想，有了“余数都不可能超过3”的结论，从而逐步抽象出“余数要比除数小”的概念。这样的数学活动经验是具体的、丰富的，抽象思维是整体的、深刻的。

学生经历了多次的操作、观察、比较、分析，逐步抽象概括，得出有余数除法的本质特征“余数要比除数小”。然后再通过五边形，六边形这样的猜想和验证，加深和巩固这种数学经验，同时也帮助学生形成数学概念是需要猜想、验证的数学思维方式。不仅在数学知识体系构建上达到较好的效果，也给学生传递了一种学习的态度和方法。

【片段3】巩固拓展延伸，在解决问题中运用数学经验

出示思考题：

1.有一堆月饼，平均分成了若干盒，还剩4块。可能分成了多少盒？你又是怎么想的？

指出：用月饼总数除以盒子数。余数是4块，余数要比除数小，除数必须大于余数，所以每盒可以装5，6，7，8，比4大的都可以。

2.有一堆月饼，平均分成了若干盒，还剩4块。每盒可能装了多少块？你是怎么想的？

指出：用月饼总数除以盒子数，得到的商是每盒多少块。但是商和余数没有关系。因此可以是任何块数。

从教学目的来看，本课主要是让学生认识余数，理解有余数的除法，难点主要是让学生能够突破余数要比除数小这样一个抽象的数学概念，从具体问题入手，引导学生进行具体的操作，让学生从操作进行猜想，再通过操作进行验证，这样一个认知过程，逐渐将学生的操作从行为层面过渡到思维层面，又从思维层面回归操作层面，把抽象概念的形成，具体到一个个操作的生成中，并不断通过操作巩固印象，让探究经验不断累积，逐渐内化，完成直观经验向数学经验的转变。