一道“几何概型”题目引发的思考

福建省莆田市秀屿莆田第十中学 林振宇

对于一线的教师，我们要时常反思教学中学生出现的问题，及时反馈与改善我们的教学方式，尽量让学生找到思维出错的根源，才能更好地服务于我们的教学，提高课堂的时效性。

一、命题者的意图反思教学

从表面看，命题者是考查几何概型，实则有更深层次的意图，如数形结合能力、化归转化能力、数据处理能力等。本题的第一个解题切入点很好入手，但之后的第二个切入点求区域面积问题着实很难。很多学生陷入如何求函数的原函数是什么这一节点，当然，有一定运算与思维能力的学生最终成功了，从考试反映的情况看，寥寥无几。许多学生都在重点思考函数的原函数是什么而百思不得其解，忽视了一种整体思维方式。所以当个体思维出问题时，应当换整体思维。如哪个式子的导数中会出现lnx？对于平时运算中出现最多的是函数，从而找到解题的突破口。函数的导数为，所以构造函数在教学中，要教会学生如何形成思维，找到解题的切入点与突破口。作为一线教师，必须要能阐述到位，总结到位，有意识地渗透数学思维教学，有利于学生思维的拓展而避免生搬硬套。对于本题的另一思维是函数的对称性问题。我们知道函数 的原函数难求，但是它的一个对称函数的原函数却很容易求得。是对x进行积分，能否转化为对y进行积分：，这种考查方式在以往的高考中也有出现。虽然现在淡化了对反函数的考查，但是在指数函数与对数函数之间的互化上，还是有所涉及，毕竟这两个函数体现了一种对称性，同时也反映了逆向思维思想。

二、反思课堂例题的选择与构造

在课堂例子的选择上，应该遵循下列几个原则：第一，拓展性原则。教学中所选的例子，应该让学生的思维有拓展性，知识有延伸性与连续性。若教师教新课知识时，选择的例子能够以一个主干条件来层层递进，把这节知识能够考查的方式都尽量呈现出来，那么可以对学生思维进行拓展，达到牵一发而动全身的效果，也可以通过变式的方式来拓展学生的思维。第二，建构性原则。所谓的建构性，是能使大脑建构一种思维或形成一种条件反射，能够让学生较深刻地理解与掌握所涉及的知识与解题方法。例如，在讲解一元二次不等式的解法时，其中较难的一块是一元二次含参不等式的解法。我在讲解时，就重点把握四个例子：这四个含参不等式基本涵盖了我们后续高中所考不等式解法的所有思想。对于一元二次含参不等式的解法来说，还是立足于一元二次不等式的解法，重点是开口、与x轴的交点情况，再结合图象考虑。当然还要解释好为何我们要讨论，讨论的入手点或标准在哪里。那么反射到其他含参不等式的讨论上，就转化最高次系数，其他都不变。第三，启发性原则。启发性原则是基于例子要能启发与警示学生可能会出现的错误。对于完善数学知识与概念的理解及解题的严密性来说，这样的例子有很好的辅助作用。比如，我们在教集合这一章节时，空集是很特殊的集合，在解题时又时常被忽视，那么，列举与空集相关的例子就很关键了。如：已知集合集合，求实数a的取值范围。这样的题目就告诉了学生，当一个集合未知时，就可能要考虑空集的情况。还有不等式在端点上的取值问题，有很好的借鉴与启发作用。当然，针对不同的课堂，我们还要加上针对性、时效性、多样性等原则。课堂例子是我们教学的重点，选择时要有教师自己的思想与创造，切不可生搬硬套。

三、反思教与学的联系

作为教师，我们有两个职责，那就是“教什么”与“怎么教”。教师不能以本论教，教材有什么教什么，重难主次不分。教材中有显性的知识与隐性的知识，显性的是知识点，隐性的是思维，所以教师在处理教材知识时，既要理清整体与局部的互异性，也要把握整体与局部的联系，同时，要对数学的概念与定理进行拓展与延伸，理清来龙去脉。定理公式的产生过程就是一种思维的形成，要给学生解析到位。比如在定积分的教学上，要有微分和极限的思维，讲清“化整为零，以直代曲，积零成整”的思想方法，才能把定积分理解到位，在解释定积分在物理中的应用及求旋转体的体积时，就会事半功倍。

例：求曲线y=x2与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转360度所围成的几何体体积。

解：先将几何体分割成n等分，当n趋于正无穷大时，那么每一个几何体都是圆柱，圆柱的高为dx，底面面积为，再把这些圆柱的体积加在一起就是

在高中阶段，这样的解释，学生能够简单易懂，收效很好。

教师在平时的教学中，要善于观察学生在解题时出错的形态，认真思考教学时教师所授的知识与学生吸收的状况，才能不断地改进自己的教学方法，更好地做到有效课堂。同时，要落实自己教学任务的最有效手段之一，就是了解学生的问题，各个突破。