“重心圆”的有趣性质及其推广

何重飞

熟知圆周上任意一点到该圆一直径两端点的距离的平方和为定值，事实上，有更一般的结论，

命题1平面内以线段中点为圆心的任意圆周上的点到该线段两端点的距离的平方和为定值，推论1空间中任意给点两点，则以该两点构成线段的中点为球心的任意球面上的点到该两点的距离的平方和为定值。

延续这一思路，线段推广到三角形便可得到：

定理1以三角形重心为圆心的任意圆周上的点到三角形三个顶点的距离的平方和为定值。

推论2以三角形重心为球心的任意球面上的点到三角形三个顶点的距离的平方和为定值。

当ΔAABC的重心G与其外心O重合时，易知ΔABC为正三角形，再由定理1便可得到：

推论3[2]正三角形外接圆周上的点到三角形三个顶点的距离的平方和为定值。

笔者发现，在四边形中，也有类似定理：

定理2以平面四边形重心为圆心的任意圆周上的点到平面四边形四个顶点距离的平方和为定值。

推论4以四边形的重心为球心的任意球面上的点到四边形四个顶点的距离的平方和为定值。

当四边形ABCD的重心G与其外心O重合时，易知四边形ABCD为矩形，再由定理2便可得到：

推论5矩形外接圆周上的点到矩形四个顶点的距离的平方和为定值。

当四边形ABCD的重心G与其对角线的交点重合时，易知四边形ABCD为平行四边形，再由定理2便可得到：

推论6以平行四边形对角线的交点为圆心的任意圆周上的点到平行四边形四个顶点的距离的平方和为定值。

事实上由定理1、2及其证明，以及引理l得：

推论7[3]在由互相平分且交于一点G的n（n≥2）条线段所构成的平面或立体图形中，以G为球心的任意球面上的点到该n条线段端点的距离的平方和为定值。

推论8以平行六面体體对角线交点为球心的任意球面上的点到平行六面体顶点的距离的平方和为定值。

证明每一个平行六面体都可由四条互相平分且交于一点的线段端点构成的几何体，由推论7便可得证。

推论9以正多边形重心（中心）为圆心（或球心）的圆周上（或球面上）的点到正多边形各顶点的距离的平方和为定值。

将以上定理及推论推广到空间，即可得到：

定理3以四面体的重心为球心的任意球面上的点到四面体的四个顶点的距离的平方和为定值。

要证定理3，需要用到以下引理：

“重心圆”或者“重心球”上的点是否具有其他幂和式为定值的性质或者其他有趣的性质？留给感兴趣的读者探究。

参考文献

[1]贺功保.三角形的六心及其应用[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2015

[2]罗建宇.正三角形和正四面体的优美定值[J].数学通讯，2007 （20）：35

[3]代银，戴晨希，多边形与多面体的优美定值[J].数学通讯，2012（7）：38

[4]孔令恩，王敬秀.Euler公式及其不等式的三维推广[J].数学教学研究，1995 （6）：40

[5]周国富.一个平面定值问题在空间的拓广[J].中学数学，1995 （11）：