解其题，研其式，归其道，养其心

陈纪韦华 林劲松

2017年是福建省各地市统一使用同一份中考试卷的第一年，意义非同寻常，本份试卷的第24题，以两个相似矩形共顶点旋转为载体，探究变化过程中的不变性，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，承载知识的“生长点”和“延伸点”，对思维的灵活性、深刻性、发散性、独创性有较高的要求，本文以该题为例，对其评题、析题、解题、变题，揭示蕴含其中的数学思想方法，挖掘隐含其中的问题本质属性，引导学生积累数学活动经验，培养学生的核心素养。

1试题呈现及评价

原题呈现

本题是2017年福建省中考卷的几何压轴题，它承载着更多的功能，主要考查：矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中点的性质、相似三角形的判定和性质、圆的概念和性质，考查学生运算能力、推理能力、创新意识、分类与整合思想、化归与转化思想，解题思路灵活，入口较宽，又有深度，方法多样。

图形看似复杂，其实是两个相似矩形共顶点旋转并研究变化过程中的不变性，看似静止的图形，其实静中有动，变化中探寻本质，图形似曾相识，是基于传统题进行创新，内涵丰富，不仅将初中数学中核心的知识（矩形、相似、圆、等腰三角形等）巧妙融合，而且将知识、技能、思想方法融为一体，深度结合，两小题互相独立，螺旋上升，稳步提升，完成每一问的推理证明又都需对题目的已知条件进行挖掘、创造，通过不断地转化，寻求解题的途径，对学生的思维水平有很高的要求，突出了压轴题应有的选拔区分功能，同时，解法的多样性，图形的熟悉感为不同层次的学生提供了广阔的想象空间，为不同思维层次的学生搭建了不同的平台。

2解法展示及分析

3由解法引发的思考

3.1解其题，研其式

一道高效的中考题，特别是压轴题，经过命题者精心编制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，涉及核心内容多，数学思想方法广，应充分挖掘其内在价值，可以从各个“思维触发点”对其解法探究，能够巩固学生基础知识和基本技能，同时形成数学思想方法，积累数学活动经验，拓展思维能力，例如上文中对2017年福建中考题的解法探究，在几何直观的基础上从不同的角度产生多种典型解法，达到“千山竞秀，草木蒙其上，若云兴雾蔚”，同时，解题后应引导学生对多种解法进行思维整理，总结思维触发点，比较解法优劣，优化思维过程，提炼出更好、更优、更典型、更便捷的解题方法，加深对知识的理解、掌握，形成自己的解题经验，积累活动经验。

3.2归其道，养其心

在“解其题，研其式”的过程中，处处体现数学核心素养的融入，此题的解答过程主要体现了数学核心素养有几何直观和推理转化，整个解题过程，直观想象是此题具体解题方法的基础——通过观察对图形整体感知，做出判断ΔADP～ΔCDF.在此基础上推理转化是核心，要证明ΔADP～ΔCDF，分别从角入手，从对应边的比入手，寻找一系列等线段、等角、等比例转化与化归，几何推理贯穿始终，因此，在平时解题的教学过程中，应考虑如何在数学活动过程中积累、转化、深化活动经验，向更高层次飞跃，内化升华为数学核心素养？从上文的过程中，我们可以略窥如何让学生养成探究问题的思路：发现了什么结论？这个结论正确吗？怎么证明？当前问题与已有知识、方法有何联系（不同点、相同点），能否转化为已有知识、方法，如何转化、迁移（上下游命题的联想系统）？如果不能，又如何另辟蹊径？这个结论是否具有一般性？在这个过程中，引导学运用学过的数学知识，观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合等手段，对问题多角度分析思考，层层探究，凸显数学思维，突出数学本质，提炼数学思想方法，积累数学活动经验，从而培养学生的数学核心素养。

4试题的进一步延伸探究

除了对解法的探究外，还应对试题本身进一步探讨研究，以期对以后的命题工作提供借鉴参考。

4.1从“静”到“动”，对题目进一步探究

平面几何主要是研究几何图形在图形变换（旋转、平移、轴对称、位似变换、相似变换）下保持不变的性质，因此，历年各地市的中考压轴题经常出现以几何图形为载体，点或线等元素运动为呈现方式的动态几何题，其目的在于引導学生在运动的变化过程中体会“变”与“不变”、“运动”与“静止”、“特殊”与“一般”的辩证关系，是对几何直观和推理的综合考查。

就本题第（Ⅱ）小题而言，ΔADP和ΔCDF绕点D旋转过程中，AP与CF在数量和位置上保持不变性的问题，但本题在设置上形式比较简单，AP固定赋值时，图形固定，缺乏引导学生探究数学问题，不利于学生探究体会几何图形变换中的不变性，体现在上文的解法4中，可以看出不属于动态几何题，因此看山不是山，跳出本题看本题，我们可以让图形运动起来，在运动变化的过程中，探求一些保持不变的量或图形形状，揭示图形变化的内在规律。

4.2抽离“几何图形结构”，对题目进行归纳延伸

“共顶点旋转”图形变式顺畅自然，结论显而易见，不同的题目解法多样（利用中点可以有不同的解法，有兴趣的读者可以自己证明），变式角度多端（ΔABC的形状可以进一步一般化或特殊化），受到各地中考命题专家的眷顾，值得注意的是对“共顶点旋转”图形结构进行探究，并非为了多创造几个新结论，多记忆几个新图式，把一切几何问题模式化，走“题型+技巧”的老路，而是为了“研其式”——将题目发散、提炼，层层深入，将一系列问题，以策略方法为主，从特殊到一般双向沟通，逐次展开，拾级而上，环环相扣，一题多变形成问题串，炼题成型、凝题成环、联题成片、多题归一，进而“归其道，养其心”：通过问题的探究，积累经验，达到课标提出的“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的问题解决的过程性目标，培养学生的数学核心素养。

教师对中考压轴题要认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够很好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效，平时的课堂中应关注好的“着落点”，远离“题型+技巧”、“记题型、对模式”的教学，拒绝题海战术，关注学生数学学习经验的积累，抓住数学的教育价值在于思维的训练和创造性，培养数学核心素养，使数学“易学、好懂、能懂、会用”。