对圆锥曲线一共性之推广

魏子贺

(河北省乐亭第一中学高三年级 063600)

设圆锥曲线的一个焦点为F,相应准线l交焦点所在的对称轴(图(1)中的x轴)于点M,过F的直线交圆锥曲线于A,B两点.则MF是∠AMB的角平分线(特别地当圆锥曲线为双曲线时,要满足A,B两点落在双曲线的同一支.否则落在左右两支上时∠AMF,∠BMF互补).

“性质”的成立必须在F为焦点且M为相应准线与对称轴的交点的条件下(这一性质是2018年高考全国卷一19题第2问的证明，所以此处不再证明),如果改变这一条件,仅让这两点存在某种特定的内在联系,我们可得到如下一组推论.

推论1 已知抛物线y2=2px(p>0)过定点F′(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于A,B两点,则对称轴上存在定点M′(-m,0)使得下面结论成立：(1)当m>0时,∠AM′F′=∠BM′F′；(2)当m<0时,∠AM′F′+∠BM′F′=180°.

当m>0时结合图(2)可得∠AM′F′=∠BM′F′;当m<0时结合图(3)可得∠AM′F′+∠BM′F′=180°.若AB的斜率不存在,则必须满足m>0,此时命题成立.

类似的结论在椭圆和双曲线中仍然成立,见下面推论2,推论3.

证明当AB的斜率存在时(斜率不存在时成立，略去不证),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线方程为y=k(x-m)(k≠0),将其代入椭圆方程并整理得(b2+a2k2)x2-2ma2k2x+(a2k2m2-a2b2)=0.

推论3的证明与推论1、2思路类似，在此不在给出.以上通过对2018年全国卷一解析几何解答题的分析给出了三个相关推论，希望对读者以后的学习有所帮助.