聚焦数列与不等式交汇题型

贺万一

(安徽省宿州市宿城一中 234000)

知识的交汇点是高考试题命题的热点，因此立足学科素养，聚焦知识交汇，是至关重要的.本文以数列与不等式的交汇为背景，研究了四种交汇题型，希望能够给学生们带来启示和帮助.

一、恒成立问题

例1 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=t(Sn-an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1)．

(1)求an的通项公式；

解析(1)当n=1时,S1=t(S1-a1+1),得a1=1．当n≥2时,由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t①，得(1-t)Sn-1=-tan-1+t②.

点评求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题时，可采用分离参数进行求解.通过分离参数后可得m≥f(x)或m≤f(x)恒成立.此时即求m≥f(x)max或m≤f(x)min.

二、证明问题

例2 数列an满足a1=1，an+1=3an+2n．

(1)求证数列an+2n是等比数列；

解析(1)由an+1=3an+2n，有an+1+2n+1=3(an+2n)，又a1+2=3，所以an+2n是以3为首项，3为公比的等比数列.

点评数列中的不等式证明问题，可采用比较法、分析法与综合法、放缩法等.在近年的数列考查中，难度一般不大.

三、不等式有解问题

例3 已知等差数列an满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.

(1)求a2，a5的值；

(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

解析(1)设数列an的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化简得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

当d=0时，an=2，a2，a5的值均为2；当d=4时，an=2+(n-1)·4=4n-2，则a2=6，a5=18.

(2)当an=2时，Sn=2n. 显然2n<60n+800，此时不存在正整数n，使得Sn>60n+800.

综上，当an=2时，不存在满足题意的n；当an=4n-2时，存在满足题意的n，且其最小值为41.

点评不等式有解问题，同函数不等式的有解问题一样，实质也是最值问题.因此可以利用转化思想，考虑数列的单调性，即可破解.

四、新定义题型

(1)若数列an的通项公式为an=2n,且具有性质P(t),则t的最大值为____；

故t的最大值为2.

点评高考数学创新题型是通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景.解决此类问题弄清楚题目所给的新概念、新运算、新模型的含义至关重要，再根据题目要求,运用所学知识基本可以顺利求解.