考虑刚体运动与弹体变形耦合效应的旋转导弹动力学建模

2018-11-29陈尔康廖欣高长生荆武兴

兵工学报 2018年11期

陈尔康，廖欣，高长生，荆武兴

(1.哈尔滨工业大学航天学院, 黑龙江哈尔滨 150001； 2.上海机电工程研究所, 上海 201109)

0 引言

旋转导弹在飞行过程中绕自身纵轴低速自旋，由此可实现单通道控制，以简化控制系统，并减小发动机推力偏心、质量偏心和外形工艺误差等干扰的影响[1]。但弹体自旋也使得旋转导弹的纵轴绕速度矢量作锥形运动。由于不收敛的锥形运动会降低导弹射程和精度[2]，其稳定性得到了众多专家和学者的关注，目前已建立起基于刚体假设的较完备理论[3]。但为了提高速度、机动性和射程[4]，旋转导弹大多数具备较大的长径比和推重比，导致弹体具有较大的弹性，从而引起了弹性变形自由度和刚体运动自由度之间的耦合(简称刚弹耦合)[5]。文献[5-6]的研究表明刚弹耦合效应对旋转导弹的轨迹和锥形运动有较大影响。因此，刚弹耦合效应是旋转导弹研究中必须考虑的因素，而传统的气动弹性[7]和飞行力学研究并不涉及这类问题。

飞行动力学建模是弹性旋转导弹动力学和制导控制问题研究的基础[8]。一些学者在这方面做了初步研究，建立了考虑弹性的姿态动力学方程，以考察弹性对姿态运动特性的影响[9-10]，但未建立完整的飞行动力学模型。事实上，弹性旋转导弹的运动包括变化幅度较小的弹性变形自由度和变化幅度较大的刚体运动自由度，因此应选择能准确描述这两种运动自由度的坐标系来完成建模。为研究方便，通常选择随导弹运动的体坐标系为参考系[11]，常用的主要有平均轴系和准坐标系。平均轴系又称为蒂塞朗(Tisserand)坐标系，导弹相对于该坐标系的线动量和角动量始终为0，实现了刚体运动自由度和弹性变形自由度间的解耦[12-13]。文献[14]在平均轴系下利用拉格朗日方程推导了弹性飞行器飞行动力学模型，该模型假设惯量张量不受弹性变形的影响，因此形式较为简单，广泛应用于各类弹性飞行器的研究[15-18]。虽然在平均轴系下建模能够简化动力学方程，但其定义中的限制条件在真实情况下很难满足，而且气动载荷也很难在平均轴系下给出[19]。针对这些问题，文献[20]提出在准坐标系下建立动力学模型。该模型中准坐标系的原点始终位于未变形飞行器的质心，各坐标轴的指向也始终保持不变，因此能较好地描述刚弹耦合。但质心不与坐标原点重合会产生额外的重力矩，并使得该坐标系下的平动速度和转动角速度并非真实值(“准速度”问题[8])。

针对上述两种坐标系的不足，文献[8]提出了一种兼具二者特点的新坐标系——瞬态坐标系。该坐标系既能够正确描述弹性变形对质心位置的影响，又能够克服准坐标系的“准速度”问题，因此能更好地体现空气动力学、结构动力学与飞行动力学之间的相互影响。但文献[8]以非自旋飞行器为对象，并未考虑旋转导弹的特点，也未建立导弹所受力和力矩的计算模型，难以直接用于弹性旋转导弹的研究。因此，本文在瞬态坐标系下利用拉格朗日方程建立了弹性旋转导弹的动力学模型。该模型的形式与刚体导弹类似，便于应用。最后利用数值仿真将该模型与其他简化模型进行了对比，发现该模型能够更好地描述弹性旋转导弹的动力学特性。

1 基本假设与坐标系定义

1.1 基本假设

考虑到实际情况，为建模方便，做出如下假设：

1) 不考虑地球的曲率和自转；

2)不考虑弹体的轴向变形，且横向变形是小量，可用一系列正交模态描述；

3)旋转导弹为轴对称体；

4)旋转导弹在飞行过程中保持小攻角，并采用准定常气动力假设。

1.2 坐标系定义

采用如图1所示的3个坐标系描述弹性旋转导弹的运动，分别定义如下：

1)地面坐标系Axyz，记为I. 坐标系原点A位于发射点。Ax轴在水平面内，指向目标为正；Ay轴位于铅垂平面内，竖直向上为正；Az轴与Ax轴、Ay轴构成右手直角坐标系。

2)准坐标系O0x0y0z0，记为B′. 准坐标系的坐标原点O0始终位于未变形导弹的质心。O0x0轴与未变形弹体纵轴重合，指向头部为正；O0y0轴位于未变形导弹纵向对称平面内并垂直于O0x0轴，指向上方为正；O0z0轴与O0x0轴、O0y0轴构成右手直角坐标系。准坐标系用于计算弹体的弹性变形。

3)瞬态坐标系Obxbybzb，记为B. 坐标原点Ob始终位于弹性导弹的质心，各坐标轴指向始终固定。Obxb轴与未变形弹体的纵轴平行，指向头部为正；Obyb轴位于未变形导弹纵向对称平面内并垂直于Obxb轴，指向上方为正；Obzb轴与Obxb轴、Obyb轴构成右手直角坐标系。瞬态坐标系的坐标轴指向与准坐标系相同，但原点始终位于飞行器的质心，从而使得该坐标系可以准确地描述弹性变形对质心位置的影响，并克服“准速度”问题。

1.3 坐标系转换关系

将地面坐标系先绕Ay轴转动ψ角，再绕Obzb轴或O0z0轴转动ϑ角，最后绕Obxb轴转动γ角，则两坐标系会重合。由于瞬态坐标系和准坐标系的各坐标轴指向是相同的，地面坐标系到瞬态坐标系的转换矩阵与地面坐标系到准坐标系的转换矩阵相同。地面坐标系到瞬态坐标系的转换矩阵L(ψ,ϑ,γ)如(1)式所示：

(1)

2 弹性旋转导弹建模

2.1 弹体变形引起的质心改变

弹体的弹性变形可在准坐标系中利用固有振型和模态坐标描述[13]：

(2)

式中：j0和k0分别为准坐标系O0y0轴和O0z0轴的单位向量；Φi(x0)为第i阶振型，x0为轴段微元的轴向坐标，下文为表示方便将Φi(x0)记为Φi；ηy0,i(t)和ηz0,i(t)分别为O0y0轴和O0z0轴方向上的第i阶广义坐标，与瞬态坐标系Obyb轴和Obzb轴方向上的广义坐标相同，下文为表示方便只记为ηyb,i和ηzb,i；n为振动模态的总阶数。

因此轴段微元在准坐标系下的位置矢量为

(3)

式中：i0为准坐标系O0x0轴的单位向量。

由(3)式可计算准坐标系下导弹质心的位置矢量ΔC为

(4)

式中：m为导弹质量。

(5)

则(4)式可改写为

(6)

由此可见，λi可以表征弹性变形引起质心改变的大小。

综上所述，由于准坐标系与瞬态坐标系坐标轴指向相同，轴段微元在二者下的位置矢量只相差矢量ΔC：

(7)

2.2 力与力矩

2.2.1 推力与推力矩

由(2)式可知弹体尾部的变形角为

(8)

FT=Tib-TΔτy0jb-TΔτz0kb，

(9)

式中：T为推力大小。而推力作用点的位置矢量RT(t)为

(10)

式中：xcg为导弹质心距头部的距离。

由(9)式和(10)式可计算推力矩：

MT=RT×FT=MTxbib+MTybjb+MTzbkb=(TΔτy0zT0-TΔτz0yT0)ib+(TzT0+TΔτz0xT0)jb+(-TyT0-TΔτy0xT0)kb，

(11)

式中：MTxb、MTyb和MTzb分别为推力矩在瞬态坐标系3个坐标轴上的分量；xT0、yT0和zT0分别为发动机喷口在准坐标系下的三轴坐标。

2.2.2 气动力与气动力矩

在弹性变形影响下，t时刻轴向位置xb处轴段微元攻角α(xb,t)和侧滑角β(xb,t)的计算公式如(12)式所示：

(12)

(13)

u、v和w分别为导弹质心速度在瞬态坐标系下的3个分量。

导弹所受气动力和力矩可由轴段微元所受气动载荷积分得到，气动力系数计算公式如(14)式所示：

(14)

式中：Cxb为轴向气动力系数；CNyb和CNzb为侧向气动力系数；d0(xb)、dA(xb)分别为单位长度的零升阻力系数和诱导阻力系数；n(xb)为单位长度的侧向气动力导数。

将(12)式代入(14)式并忽略2阶小量，可得气动力系数的具体表达式为

(15)

(16)

同理可得气动力矩系数CMyb和CMzb的表达式为

(17)

(18)

2.2.3 马格努斯力矩

与气动力系数计算类似，马格努斯力矩系数的计算公式如(19)式所示：

(19)

(20)

lm为单位长度的马格努斯力系数。

2.2.4 广义力

广义力可分为沿Obyb轴和Obzb轴两个方向：

(21)

式中：Qyb,i和Qzb,i为第i阶广义力的分量；q为动压；S为导弹的特征面积；Fyb,j(t)和Fzb,j(t)为第j个集中载荷的分量；xj为第j个集中载荷作用点距导弹头部的距离；r为集中载荷的数量；CQyb,i和CQzb,i为广义力系数，

(22)

(23)

3 弹性旋转导弹动力学方程

3.1 拉格朗日方程

为简化推导过程，采用广义坐标系下的拉格朗日方程[19-20]建立动力学方程如下：

(24)

(25)

(26)

D为阻尼耗散能。

依次计算动能、势能和阻尼耗散能并代入(24)式，即可得到弹性旋转导弹的动力学方程。

3.2 动力学方程的建立

3.2.1 导弹动能

如图2所示，轴段微元在瞬态坐标系下的位置矢量为

R=R0+p.

(27)

对(27)式等号两侧进行微分，可得

(28)

由(28)式即可计算导弹的动能K：

(29)

式中：J0为旋转导弹无弹性变形时的惯量张量，

(30)

Ixx0、Itt0分别为未变形导弹纵向和横向的转动惯量；d为轴段微元在瞬态坐标系下位置矢量的侧向分量；ρ为轴段微元在瞬态坐标系下位置矢量的轴向分量。

将各分量代入(29)式，可得导弹动能表达式：

(31)

式中：ωxb为导弹自旋角速度；σi为与振型有关的常数，

(32)

Mi为第i阶模态质量，

(33)

(31)式等号右侧的第1项是旋转导弹的平动动能；第2项～第8项是考虑了质量特性变化的导弹转动动能；第9项～第12项是弹性变形和导弹转动耦合产生的动能；第13项～第16项是弹性变形引起的动能。

3.2.2 导弹势能与阻尼耗散能

导弹势能U包含重力势能Ug和弹性势能Ue,

U=Ug+Ue,

(34)

式中：

(35)

Rx、Ry和Rz为质心位置矢量在惯性坐标系下的3个分量，g和g分别为引力加速度矢量和引力加速度大小；

(36)

ωi为第i阶模态的固有角频率。

导弹阻尼耗散能的表达式为

(37)

式中：μi为第i阶模态的临界阻尼系数。

3.2.3 动力学方程

将(31)式、(34)式和(37)式代入(24)式，即可得到动力学方程。根据(24)式，动力学方程可以分为3组：质心平动动力学方程、绕质心转动动力学方程和弹性变形动力学方程。其中质心平动动力学方程如(38)式所示：

(38)

绕质心转动动力学方程如(39)式～(41)式所示：

(39)

(40)

(41)

弹性变形动力学方程如(42)式和(43)式所示：

(42)

(43)

3.3 动力学方程分析

由(38)式可知，由于瞬态坐标系的原点始终位于弹性旋转导弹瞬时质心，建立在该坐标系下的质心平动动力学方程与刚体导弹的质心平动动力学方程形式一致，从而给后续研究带来了方便。

由(39)式～(43)式可知，在绕质心转动动力学方程与弹性变形动力学方程中，刚体运动自由度与弹性变形自由度相互耦合在一起。而文献[14]建立的动力学方程忽略了所有耦合项，实现了绕质心转动动力学方程与弹性变形动力学方程间的解耦：绕质心转动动力学方程只包含刚体运动自由度，弹性变形动力学方程中只包含弹性变形自由度。这表明建立在瞬态坐标系下的动力学方程考虑了弹性变形对质量特性的影响，能够完整地描述刚弹耦合特性。这是建立在平均轴系和准坐标系下的动力学模型无法做到的，因此称本文建立的模型为惯性耦合完整模型。

事实上，基于不同假设对该模型进行简化，即可得到其他文献使用的模型。

由(5)式可知，λi表征弹性变形对质心位置的影响，σi表征弹性变形与刚体旋转耦合引起的动能增量。平均轴系中的建模忽略了这两种耦合，因此有

(44)

将(44)式代入动力学方程(40)式～(43)式，则绕质心运动动力学方程简化为

(45)

(46)

而结构变形动力学方程简化为

(47)

(48)

(45)式～(48)式组成的简化动力学模型与文献[6-7]中的动力学模型一致，只保留了一部分耦合项，本文称为惯性耦合简化模型。

进一步地，忽略弹性变形对质量特性的影响，可得到与刚体导弹动力学模型形式一致的弹性旋转导弹动力学模型，如(49)式～(52)式所示：

(49)

(50)

(51)

(52)

该模型忽略了所有耦合项，因此弹性变形自由度与刚体运动自由度在形式上是解耦的，二者之间的耦合仅体现在力和力矩的计算上。本文称该模型为非惯性耦合模型。

综上所述，建立在瞬态坐标系下的惯性耦合完整模型考虑了弹性变形对质量特性的影响，能够全面描述刚弹耦合效应。而且惯性耦合完整模型利用微分方程描述弹性旋转导弹的运动，只增加了有限数量的弹性变形自由度，便于工程应用。

4 仿真分析

某旋转导弹的前2阶固有频率分别为43 Hz和106 Hz，相应的振型如图3所示，其他参数如表1所示。

表1 旋转导弹参数

下面以该旋转导弹为对象进行仿真，分析3.3节中3种模型的差别。

4.1 惯性耦合完整模型与惯性耦合简化模型

分别使用惯性耦合完整模型和惯性耦合简化模型进行仿真。自旋角速度为263.5 rad/s的仿真结果如图4～图8所示。由图4～图8可以看出，此时完整模型的仿真结果已经开始发散，而简化模型的结果尚未发散。此外，简化模型和完整模型关于刚体攻角α0、刚体侧滑角β0和角速度ωyb、ωzb的仿真结果存在着较明显的差别，其中角速度的相位一致，差别主要体现在幅值上，而模态坐标ηyb，1、ηzb，1则相差不大。

自旋角速度为160 rad/s的仿真结果如图9～图13所示。由图9～图13可以看出，此时完整模型和简化模型仿真结果之间的差别明显减小，只有刚体攻角α0、刚体侧滑角β0和角速度ωyb、ωzb间存在一定的差别，模态坐标ηyb，1、ηzb，1的仿真结果基本一致。

自旋角速度为60 rad/s的仿真结果如图14～图18所示。此时两种模型的仿真结果基本一致。

以上3组仿真结果表明，在自旋转速较大时，简化模型和完整模型关于刚体攻角、刚体侧滑角和角速度的仿真结果存在较明显的差别，其中角速度的相位一致，差别主要体现在幅值上，而两种模型关于模态坐标的结果则基本一致。表明刚弹耦合效应对姿态运动有一定影响，且这种影响主要体现在角速度的幅值上；在导弹运动不发散情况下，两种模型在弹性变形方面的差别很小，可以忽略。此外，随着自旋角速度的增加，弹性变形自由度的频率减小，与(42)式和(43)式的结果一致。

综上所述可知，惯性耦合完整模型和惯性耦合简化模型之间的差别相对较小，在弹性变形频率较大时甚至可以忽略，而在弹性变形频率较小时二者之间差别较大，需要加以考虑。因此在旋转导弹自旋转速较小(远小于弹性模态固有频率)时，可使用较简单的惯性耦合简化模型。

4.2 惯性耦合完整模型与无惯性耦合模型

下面分别使用惯性耦合完整模型和无惯性耦合模型进行仿真，结果如图19～图23所示。

由图19、图20和图21可知，两种模型关于刚体攻角α0、刚体侧滑角β0和角速度ωyb、ωzb的仿真结果中幅值与相位均存在明显差别。由图22和图23可知关于弹性变形的仿真结果基本一致。表明惯性耦合对旋转导弹刚体姿态运动的影响较大，对弹性变形的影响则很小。因此对于弹性较大的旋转导弹，目前使用较多的平均轴系下的动力学方程不够准确。