某输弹机开式链传动建模及动力学特性分析

刘太素， 钱林方， 陈光宋， 吉磊

(南京理工大学 机械工程学院， 江苏 南京 210094)

0 引言

输弹机是中大口径自行火炮和车载炮装填系统中的重要组成部分，主要负责将弹丸迅速准确地输送到炮膛内，输弹机的输弹精度是火炮射击精度的关键组成部分之一，提供了弹丸膛内运动的初始状态[1]。

链条传动是输弹机结构中重要的组成部分之一，可实现弹丸推送入膛。在现有的输弹机构中存在两种形式的链条传动：一是旋转闭式链传动[2-3]；二是开式链传动，主要作往复直线运动，由于建模相对复杂，目前仅有一定的理论研究[4]。文献[5-6]利用RecurDyn仿真软件对输弹机开式链传动进行了刚柔耦合动力学建模，分析了系统动力学特性，确定了危险点的位置，为开式链输弹机的研究提供了一定理论基础。文献[7]基于虚拟样机技术对输弹机开式齿形链进行了刚柔耦合动力学建模，并得到了齿形链的相关动力学特性。文献[8]基于Adams软件建立了输弹机开式链动力学模型，并分析了参数随机性对系统可靠性的影响。近年来，对输弹精度和输弹一致性的要求逐渐提高，如何建立准确的输弹机开式链传动动力学仿真模型，进而分析输弹过程的动力学特性，是提高输弹精度和输弹一致性的关键问题之一。

本文在前人研究的基础上，针对输弹机开式链传动系统的结构，通过详细描述滚轮与链轮之间的几何关系和接触模式以及链节之间的接触，建立了准确的开式链传动机构多刚体动力学模型。基于此动力学模型分析了开式链传动机构的运动学行为和动力学特性，讨论了滚轮与链轮齿槽之间间隙变化对输弹机开式链传动机构的影响。分析结果为合理设计输弹机开式链传动机构、提高输弹一致性和输弹精度提供了理论基础。

1 开式链传动机构几何描述及运动接触分析

1.1 基本假设

为了建立相对准确的某输弹机开式链传动机构动力学模型，需要做出如下假设：

1) 不考虑输弹机齿轮传动系统等其他部件的影响，只考虑链条传动系统相关参数的影响；

2) 各部件视为刚体，不考虑弹性变形的影响；

3) 不考虑弹丸与托弹板之间的接触碰撞，假定推弹板动力学特性即为弹丸动力学特性；

4) 将系统视为平面系统，只考虑平面内的移动及绕垂直平面轴的转动，其中推弹板只有沿弹丸轴向的1个移动自由度；

5) 输弹机相对地面静止，即链轮相对地面定轴转动。

1.2 结构描述

本文研究对象为首尾不相连的开式链传动机构，在输弹过程中链条在链轮的带动下，经由推弹板将弹丸输送到炮膛内。链条是由链节经过销轴连接在一起的多刚体系统，其中，销轴两端为滚轮，滚轮的作用是与链轮啮合，通过链轮转动带动链条运动。开式链传动三维结构示意图如图1所示。

根据三维结构以及相对关系，可以得到开式链传动机构的拓扑关系如图2所示。图2中，虚线表示省略的i-2个链节和滚轮，圆圈表示旋转副，三角形表示接触。

1.3 开式链传动系统运动接触分析

链轮特性包括齿数nt、链轮原始半径Rs和周节角α. 链条系统示意图如图3所示。图3中：rs=[xs,ys]T表示链轮圆心在全局坐标系的位置向量；rrc=[xrc,yrc]T表示滚轮k(k=1,…,i)在全局坐标系OXY的位置向量；src表示从链轮中心到滚轮中心的向量。链轮坐标系OsXsYs位于链轮中心，齿数从ni=1开始按照逆时针排列，ni表示第几个齿。为方便描述，建立齿槽局部坐标系Osξsniηsni(ni=1,…,nt)，相对链轮坐标系绕原点Os旋转角度θs=(ni-1)α得到。Osξsniηsni到OsXsYs的坐标转换矩阵为

(1)

为了计算方便，所有滚轮与链轮齿槽之间的接触关系都定义在齿槽坐标系中。当某向量在齿槽坐标系中表示时，任意的向量(·)表示为(·)″. 例如，从链轮中心到滚轮中心的向量定义为

src=rrc-rs，

(2)

表示在齿槽坐标系下为

(3)

链轮齿形示意图如图4所示。为了减小滚轮与链轮齿槽啮合过程中的啮合冲击，链轮齿槽通常由几部分连续的曲面组成[7，9-10]。为了精确表示滚轮与链轮齿槽之间的接触关系，根据某输弹机链轮实际工程图纸，将齿槽分成3个区域，分别为齿槽定位曲线(底部曲线)bc、顶部过渡曲线ab和cd，并分别定义了圆心Obc、Oab、Ocd.ab段和cd段圆弧半径为R1，bc段圆弧半径为R2.

1.3.1 链轮齿槽与滚轮接触的几何关系

正常工作状态下，滚轮与链轮的接触发生在齿底部区域，即bc段圆弧。然而，在非理想受力情况下，例如滚轮与链轮齿槽间隙的影响以及链节和滚轮的振动等影响，滚轮与链轮齿槽的接触会发生在链轮齿槽的其他位置，即ab段和cd段圆弧。因此，为了精确计算滚轮与链轮齿槽之间的运动学和动力学关系，需要分别描述滚轮与不同圆弧段的接触关系。

如图5所示为滚轮与链轮齿槽定位曲线的接触关系示意图(图中θbc表示bc段圆弧相对圆心Obc的角度)，偏心向量ebc为滚轮中心与底部圆弧中心之间的向量，表示为

ebc=src-sObc，

(4)

式中：sObc为底部圆弧中心相对链轮中心的矢径。

令θ2表示ebc与-sObc之间的夹角，则

(5)

发生在底部圆弧的接触约束条件为

(6)

若(6)式不成立，则检测是否发生其他位置的接触：若θ2为正数，则检查接触是否发生在cd段圆弧；若θ2为负数，则检查接触是否发生在ab段圆弧。若(6)式成立，则按照(7)式计算滚轮与链轮齿槽定位曲线之间的穿透量：

δbc=‖ebc‖-(R2-Rr)，

(7)

式中：Rr为滚轮半径。

若同时满足(6)式和δbc≥0，则滚轮与链轮齿槽的接触发生在bc段圆弧，否则滚轮与链轮齿槽的bc段圆弧无接触。

图6为滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线的接触关系示意图。其中，链轮齿槽顶部过渡曲线包括ab段圆弧和cd段圆弧，因此需要对两段圆弧分别进行分析。

图6中：eab和ecd分别表示ab段圆弧中心与滚轮中心的偏心向量以及cd段圆弧中心与滚轮中心的偏心向量；sOab和sOcd分别表示ab段圆弧中心和cd段圆弧中心相对链轮中心的矢径。

根据不同的圆弧段，可以得到滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线的位置关系：

1)当滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线接触时，假设在ab段，则可得

eab=src-sOab.

(8)

令θ1表示sOaba与eab之间的夹角，其中sOaba表示Oab到点a的矢径，则

(9)

(10)

发生在ab段接触的约束条件为

(11)

式中：θab表示ab段圆弧相对圆心Oab所对应的角度。

若满足(11)式，则计算滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线ab段圆弧之间的穿透量为

δab=R1-(‖eab‖-Rr).

(12)

若同时满足(11)式和δab≥0，则滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线在ab段圆弧发生接触，否则滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线在ab段无接触。

2)当滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线接触在cd段时，可以得到在cd段接触的约束条件为

(13)

式中：θcd表示cd段圆弧相对圆心Ocd所对应的角度。

若满足(13)式，则计算滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线cd段圆弧之间的穿透量为

δcd=R1-(‖ecd‖-Rr).

(14)

若同时满足(13)式和δcd≥0，则滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线在cd段发生接触，否则滚轮与链轮齿槽顶部过渡曲线在cd段无接触。

根据以上判断，可以得出滚轮与链轮齿槽之间的接触关系判断流程图如图7所示。

1.3.2 链节之间的接触

为了防止输弹链条在传动过程中链节与滚轮脱离链轮，造成输弹精度下降甚至输弹不成功，该输弹机开式链传动系统的链节之间也会存在平面接触约束，初始时刻链节在链盒中，当链节转过链轮到达链轮上方时，在平面约束作用下两个链节的平面会发生接触，当两个链节的上表面平行时，为接触的临界条件。

如图8所示，对于相邻的两个链节Ock和Oc(k+1)，两个坐标轴OckYck和Oc(k+1)Zc(k+1)之间的夹角为γ，则两个链节接触的判断条件为

(15)

图8中：点P和点Q为链节接触平面上端的点，rPQ为点P到点Q的矢径；rQ为全局坐标系原点到点Q的矢径；rP为全局坐标系原点到点P的矢径。

当发生接触时，相邻两个链节的平面之间会产生穿透，当两个链节发生接触时，接触区域为平面矩形区域，由于链节与滚轮之间为旋转副，两个链节之间的接触必然是平面的上端先接触，又由于旋转角度的影响，为保证穿透量计算的合理性，取上端穿透深度的一半作为实际穿透量(见图8)，则可得穿透量为

(16)

根据 (16) 式可以得到穿透量的大小为

δp=‖δp‖，

(17)

进而根据穿透量的大小和方向，即可计算链节之间的接触碰撞力。

2 接触碰撞力模型

2.1 法向接触碰撞力模型

当滚轮与链轮齿槽的圆弧表面发生接触时，可能会产生碰撞，碰撞过程会伴随着能量损失。Herts接触模型是常用的经典接触模型，该模型将两个碰撞的物体假设为完全弹性碰撞，未考虑碰撞过程的能量损失，但实际碰撞过程中，应该考虑相对碰撞速度、物体几何参数、物体材料属性等因素。因此，本文采用Lankarani-Nikravesh接触力模型，其公式[11-12]为

(18)

刚度系数K可以表示为

(19)

阻尼系数C表示为

(20)

式中：m一般取1.5；ce为恢复系数，取0.9；δi为撞击点的初始相对速度。

当链节之间发生接触时，接触模式为平面接触，因此利用平面接触力模型来计算链节之间的接触碰撞力，接触碰撞力[13]表示为

Fnp=Kpδp，

(21)

式中：Kp为链节之间平面接触的等效刚度，其计算公式为

(22)

l、h分别为平面接触区域矩形长和宽的一半，N为矩形接触区域长宽比的系数，l、h和N取值如表1所示。

表1 矩形接触区域长宽比及其系数

2.2 摩擦力模型

由于间隙存在，在运动过程中两个相互接触的物体表面是粗糙的，会发生相互摩擦，而且这种摩擦力是不可忽略的，对系统性能也会产生影响。本文采用修正的Coulomb摩擦模型来计算摩擦力[11-12]，该模型能够较准确地计算两个物体在相对转动和移动过程中的摩擦现象。切向摩擦力可以表示为

(23)

式中：cf为滑动摩擦系数；vt为相对切向速度；cd为动态修正系数，

(24)

式中：v0和v1是为计算动态校正系数而指定的速度值。

3 某输弹机开式链动力学方程

根据开式链传动系统的运动学关系、受力与约束情况，基于相对坐标理论和虚功率原理[14]，可以建立开式链传动系统的动力学方程：

(25)

4 算例分析

以某输弹机链条为研究对象，忽略其他因素的影响，只分析链条与链轮之间的耦合作用。采用4阶、5阶龙格-库塔算法来解算动力学方程。综合考虑收敛情况和计算效率，积分步长取5×10-6s. 为了分析开式链传动系统的动力学特性，取10个链节作为分析模型，相关参数如表2所示。

表2 开式链传动机构参数

4.1 链轮齿槽与滚轮间隙对系统性能的影响分析

根据链轮齿槽的几何特性，在不同时刻，滚轮与链轮齿槽的接触碰撞会发生在不同圆弧段，以第1个滚轮(推弹板滚轮)、第2个滚轮、第5个滚轮、第6个滚轮与链轮齿槽的接触碰撞为例，分析不同时刻的接触碰撞区域，如图9(a)～图9(d)所示。由图9可知，在此工况条件下，滚轮5只与链轮齿槽的ab段圆弧发生接触碰撞，滚轮1、滚轮2、滚轮6与链轮齿槽的ab段、bc段圆弧发生了接触碰撞，且根据时间的不同，发生接触碰撞的区域会发生变化，接触刚度也就会有所不同。在第1和第2个滚轮中，ab段发生的接触碰撞力总体比bc段的接触碰撞力大，对开式链传动机构的影响较大，从而证明了详细描述滚轮与链轮齿槽接触特性的必要性。

4.2 链轮齿槽与滚轮间隙大小对系统性能的影响分析

链轮齿槽与滚轮之间的间隙会对系统的运动学和动力学特性产生影响，间隙大小变化也会改变系统的性能，保持链轮齿槽半径不变，改变滚轮半径，分析间隙大小对系统性能的影响。图10和图11为当链轮齿槽定位曲线与滚轮之间的间隙g变化时，推弹板位移和速度以及链轮位移和速度的对比。由图10和图11中可以看出：间隙大小不同，推弹板位移和速度以及链轮位移和速度会发生变化；随着间隙增大，推弹板位移和速度会先增大、后减小；当间隙为0.2 mm时，推弹板速度波动明显较大，链轮速度波动也会比较大，链轮位移和速度与其他间隙情况下相比也区别较大；随着间隙增大，链轮位移和速度变化不是很明显。

图12所示为间隙大小对推弹板和链轮加速度的影响。由图12可以看出：间隙变化对推弹板和链轮的抖动影响较大；当间隙为0.3 mm时，推弹板和链轮的抖动相对较小；而在其他间隙条件下，推弹板和链轮会出现较大的抖动。

5 结论

本文基于接触碰撞理论描述了滚轮与链轮齿槽之间的接触关系以及链节之间的接触关系，基于Lankarani-Nikravesh法向接触力模型和平面接触力模型分别建立了滚轮与链轮齿槽之间的法向接触力和链节之间的平面接触力，基于修正的Coulomb摩擦模型建立了接触面之间的摩擦力，基于相对坐标理论和虚功率原理建立了开式链传动机构的动力学模型。得到主要结论如下：

1) 针对动力学模型，分析了开式链传动机构的运动学及动力学特性。在不同时刻，滚轮与链轮齿槽的接触碰撞会出现在不同圆弧段，而且在链轮齿槽顶部过渡曲线处产生的法向接触碰撞力较大。因此，针对不同工程实际要求，需要合理设计链轮齿槽的形状。

2) 讨论了不同间隙对开式链传动机构运动学精度及动力学特性的影响。随着滚轮与链轮齿槽间隙的增大，推弹板位移和速度会先增大、后减小，加速度幅值会先增大、后减小；链轮角位移变化较小，链轮角速度和角加速度也会先增大、后减小。因此，针对不同工程实际要求，需要合理控制滚轮与链轮齿槽之间的间隙。

3) 本文建立的开式链传动机构动力学模型和算例分析结果为合理设计输弹机开式链传动系统、提高输弹精度和输弹一致性提供了理论参考依据。