一道二元最值问题的“四解、二变”

■河南省郑州工业应用技术学院 郑素芳

二元最值问题是多元最值问题中最基本的题型,但是同学们在处理这类问题时常常感到比较棘手,一来思路受阻,二来容易出错,究其原因是对这类问题的结构特征、变化规律以及解题技巧没有掌握。对此,本文对一道二元最值问题从四种解法、二个变式的视角加以探究,供同学们学习时参考。

题目已知正实数a,b满足2a+b=1,则的最小值是

一、四种解法

(一)常规解法

所求式是由两个分子与分母都是一次的分式组成,所以容易想到用方程思想求解。

解法1：先减元,后用判别式。

去分母后,整理得：

(3t-5)b2+(4t-2)b+t-1=0。

若3t-5=0,即时,由上式可得,与已知条件b是正实数相矛盾,所以3t-5≠0。因此,Δ=(4t-2)2-4(3t-5)·(t-1)≥0,整理得t2+4t-4≥0。由此可得,所以t-,即得,故的最小值是

点评：按照上述方法,如果将b=1-2a代入后,则得到的方程是(3t-5)a2+(6-5t)a+2(t-1)=0。当3t-5=0时,可得a=,此时b=,不符合题意。因此,3t-5≠0,以下解题过程同上。

如果不用判别式法,那么用常用的解题工具——基本不等式,行不行呢?

解法2：先变形后用基本不等式。

点评：在解法2中,由于使用了“1”的代换技巧,使得变形过程中出现了分子与分母都是齐次的分式,为下面的变形得到搭建了平台,从而使基本不等式的应用水到渠成。

(二)优美解法

解法3：由已知条件及基本不等式,可得：

如果第二项的分母不变,而改变第一项的分母,行不行呢?

解法4：由已知条件及基本不等式,可得：,当且仅当时等号成立。

点评：比较上述四种解法,前两种解法比较复杂,但是通解通法,属于基础层面,后两种解法十分简捷,但却需要抓住问题式的结构特征,对同学们的观察能力具有较高的要求,因此属于能力层面。希望同学们在数学解题中,思维不能仅仅停留在通解通法的基础层面,还要加强对优美解法的能力训练,不断提升数学解题素养。

二、二个变式

1.等差换元。由已知条件知,2a,,b成等差数列,由此可设x,则代入原问题整理后,可得：

变式1已知,则的最小值是

解：由已知条件可知,5-6x＞0,3-2x＞0。由基本不等式可得：

点评：变式1是将原来的二元最值问题转化为一元最值问题,如果按照习惯性思维,采用判别式法求解,则要复杂一些,但利用分子与分母的结构特征,用“添项法”处理却十分简捷。

2.适当升幂。将分子中的变a为a2,b变为b2,同时对第二项的分母作“微调”处理,可得：

变式2已知正实数a,b满足2a+b=1,则的最小值是

解：由已知条件及柯西不等式,可得：

当且仅当2a=b时等号成立。