妙用柯西不等式的变形解题

■湖北省天门市实验高级中学 曾鸿烨

柯西不等式作为一个基本而又重要的不等式,具有较强的应用性。同学们如果能灵活巧妙地运用柯西不等式,特别是柯西不等式的变形形式,就会在解题时能收到出奇制胜、事半功倍的效果。下面通过一些课本上的习题、高考题、竞赛题来看柯西不等式变形形式的应用。

柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全为零时,当且仅当存在一个实数k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)时等号成立。

柯西不等式的变形形式：若a1,a2,…,an为实数为正数,则+…,当不全为零时,当且仅当存在一个实数k,使得时等号成立。

例1已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：。你能否把这一结论推广?并写出证明过程。

证明：因为a,b,c∈R+,且a+b+c=1,所以由柯西不等式的变形形式得：

推广：x1,x2,,xn∈R+,且x1+x2+,则

例2已知a,b,c是互不相等的正数,求证：

证明：a,b,c是正数,由柯西不等式的变形形式得：

又因为a,b,c是互不相等的正数,所以

例3设x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,求证：+…+

证明：因为x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,所以由柯西不等式的变形形式得：

例4(2017年山东卷第12题)已知直线=1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

解：因为直线=1(a＞0,b＞0)过点(1,2),所以。

又a＞0,b＞0,故由柯西不等式的变形形式得：

例5(2008年陕西卷第22题)已知数列{an}的首项,2,…。证明：a1+a2+…+。

证明：由题意易得,于是=1+。

由柯西不等式的变形形式,得：

a1+a2+…+an=。

所以结论成立。

例6(2012年全国数学联赛甘肃预赛第11题)设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证：。

证明：因为a,b,c为正实数,所以a2+b2+c2≥a b+b c+c a。

又a+b+c=1,故由柯西不等式的变形形式得：

拓展：设ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为0,则≥,当a,a,…,12an,b1,b2,…,bn不全为零时,当且仅当存在一个实数k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)时等号成立。