双变量不等式的解题策略

■河南省濮阳市第一高级中学 李佳颖

2018年全国Ⅰ卷的导数压轴题,再次掀起研究双变量不等式、极值点偏移的热潮。据统计近九年的全国及各地高考试题中,有七次出现在高考压轴题位置,很多同学对此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决?含参数的又该如何解决?是否有更简便的方法来解决?其实,处理这类问题的手段有很多,方法也就有很多,下面从两类典型问题出发探究解决此类问题的常用策略。

一、不含参数的问题

例1(2010年天津理数)已知函数f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2＞2。

证法一：欲证x1+x2＞2,即证x2＞2-x1。f'(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)在x=1处取得极值。f(x1)=f(x2),且x1≠x2,不妨设0＜x1＜1＜x2,故2-x1,x2∈(1,+∞)。又因为f(x)在(1,+∞)上单调递减,故只需证f(x2)＜f(2-x1)。又因为f(x1)=f(x2),故即证f(x1)＜f(2-x1)。构造函数H(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),则等价于证明H(x)＜0对x∈(0,1)恒成立。

由于H'(x)=在(0,1)上恒大于0,则H(x)在x∈(0,1)上单调递增,所以H(x)＜H(1)=0。故H(x)＜0对x∈(0,1)恒成立,原不等式x1+x2＞2亦成立。

证法二：由f(x1)=f(x2),得=,化简得

不妨设x2＞x1,由证法一知,0＜x1＜1＜x2。令t=x2-x1,则t＞0,x2=t+x1。代入①式,得,解得。则x1+x2=2x1+t=。故要证x+x

12＞2,即证+t＞2。又因为et-1＞0,等价于证明：2t+(t-2)(et-1)＞0。②

构造函数G(t)=2t+(t-2)(et-1)(t＞0),则G'(t)=(t-1)et+1,G″(t)=tet＞0,故G'(t)在t∈(0,+∞)上单调递增,G'(t)＞G'(0)=0,从而G(t)也在t∈(0,+∞)上单调递增,G(t)＞G(0)=0,即证②式成立,也即原不等式x1+x2＞2成立。

小结：以上两种证法均是为了实现将双变量的不等式转化为单变量不等式,证法一利用构造新的函数来达到消元的目的,证法二则是利用构造新的变量,将两个旧的变量都换成新变量来表示,从而达到消元的目的。

二、含参数的问题

例2已知函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1,x2,求证：x1+x2＞2。

思路1：函数f(x)的两个零点,等价于方程xe-x=a的两个实根,从而这一问题与例1完全等价,例1的两种证法全都可以用。

思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数。解答如下：

因为函数f(x)有两个零点x1,x2,所以

由(1)+(2)得：

x1+x2=a()。

要证明x1+x2＞2,只要证明a(+)＞2。

由(1)-(2)得：

x1-x2=

证(x1-x2＞2⇔(x-x)·12

不妨设x1＞x2,记t=x1-x2,则t＞0,et＞1。因此只要证明。再次换元令et=x＞1,t=l nx,即证

小结：本题是含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变量x1,x2的基础上,又多了一个参数,思路很自然地就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造新的函数解题。

例3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点x1,x2,证明：x1+x2＜2。

证明：由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,得f'(x)=(x-1)(ex+2a),可知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。要使函数y=f(x)有两个零点x1,x2,则必须有a＞0。

不妨设x1＜x2,由单调性知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),所以2-x2∈(-∞,1)。f(x)在(-∞,1)上单调递减,故要证x1+x2＜2,等价于证明f(2-x2)＜f(x1)=0。

解决双变量不等式的两种方法,实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量求解,途径都是构造一元函数,掌握了这一本质思想,此类问题就可以迎刃而解。