基本不等式变形技巧的应用

■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用,利用基本不等式时,要对已知条件进行灵活变形,使问题出现积(或和)为定值,以便解决问题,现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例1求函数的值域。

解：(1)当x＞1时,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,此时y的最小值为3。

(2)当x＜1时,所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,当且仅当1-x=,即x=0时,等号成立,此时y的最大值为-1,

综上,y的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)。

点评：当各项符号不确定时,必须分类讨论,要保证代数式中的各项均为正数。

技巧二：巧变常数

例2已知,求函数y=x(1-2x)的最大值。

解：因为0＜x＜,所以x＞0。

y=x(1-2x)=≤,当且仅当x=,即时,等号成立,y的最大值为。

点评：形如f(x)=x(1-a x)或f(x)=x2(1-a x2),常有两种变形方法,一是巧乘常数,二是巧提常数,应用时要灵活运用。

技巧三：分离常数

例3已知,则f(x)=有( )。

解：f(x)==,当且仅当,即x=3时,函数有最小值,故选D。

点评：通过加减常数,分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法,这里一定要加减好“常数”,以利于问题的解决。

技巧四：活用常数

例4若x,y∈R+且满足,求x+y的最小值。

解：由x,y∈R+且,得x+y=(x+y)+20≥+20=36,当且仅当,即x=12且y=24时,等号成立,所以x+y的最小值是36。

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换,整理后得到基本不等式的形式,减少了使用基本不等式的次数,有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。