基本不等式的几种变式及其应用

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

现行高中数学教材“不等式”一章中,给出了两个正数的基本不等式：如果a,b为正数,那么。但在实际解题中,许多同学对(*)式的应用并不能得心应手,究其原因是对不等式(*)潜在的变式功能没有掌握,存在着知识未上升到能力的问题。对此,根据不等式(*)的结构特征,本文给出不等式(*)的几种不同变式,以帮助同学们更加全面深入地理解和掌握不等式(*)潜在的作用和价值。

变式1：≥3a-2b。(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号)

推导：为了消去不等式(*)右边的根号,可以把a换成,整理得此式两边同时乘以后,得,进一步得≥2(2a-b)-a,整理可得变式1。

变式2：(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号)

推导：观察不等式(*),右边可以变为,如果加上,那么不等式(*)的右边就变成完全平方式,这时,给左边加上,则整理可得变式2。

变式3：(a+1)(b+1)≥(a b+1)2。(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号)

推导：如果将不等式(*)的右边变为,那么给不等式(*)的两边同时加上,将此式两边分别整理得,将此式左边的分子分解因式,则整理可得变式3。

变式4：。(a,b∈R,+当且仅当a=b时取等号)

推导：如果把不等式(*)中的a,b分别用代换,可得到又与(*)式结合,可得,整理可得变式4。

例1当x＞0时,则的最小值为

解：将变式1变形为a3+2b3≥3a b2,则即得y≥3,当且仅当时等号成立。故所求的最小值为3。

点评：变形是一种基本的解题能力,通过对变式1的变形,与函数式形成了有效的对接,从而优化了解题过程。

例2已知x2+(y-1)2=1,则使不等式x+y+c≥0恒成立的c的取值范围是

解：由已知及变式2得：

例3已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值为。

解：由已知及变式3得：

点评：初看此题,思考的难度较大,但利用变式3之后,再借助“配方法”这个工具,则思路自然畅通。受此解启发,也可以先给两个根式下面的项分别配上系数,再利

例4已知0≤x≤,则函数y=x2·(1-3x)的最大值为

解：当x=0或x=时,y=0;当0＜x＜时,引入一个待定的正参数l,由变式4得,整理得x2-,得,所以有x2-,即得y=x2(1-3x),当且仅当时等号成立,故。

点评：此解利用变式4后,借助“待定系数法”这个工具,不失为一种有效的方法。如果把函数化为y=x2-3x3,则可利用导数求解。

上面,我们给出了基本不等式(*)的四个面貌全非而又十分有用的变式,对它们的应用,往往需要根据题目的已知条件和结构特点,灵活地、合理地选用,由此为进一步处理数学问题架起了新的解题之“桥”,开辟了新的解题通道。

练一练：

1.已知a,b是满足a+b=1的正数,则的最小值为

2.函数f(x)=的最大值为

3.设x,y是满足的正数,则的最小值为

4.已知x∈,则函数sin3x+cos3x的最小值为

答案：1.

2.

3.9

4.