巧用函数思想 妙解数学问题

王海青

（江苏省盐城市响水县第二中学，江苏响水 224600）

引 言

用函数思想解题，即利用函数概念、性质以及相关知识思考、分析和解决数学问题，是中学数学解题中不可或缺的思想方法和解题策略[1]。近年来，“函数热”可谓居高不下，是高考数学考查的重点内容，在集合、方程、数列、导数、不等式等问题中均有着广泛的应用。因此，在高中数学解题教学中，教师要培养学生的函数思想，开拓学生的解题思路，提高他们的解题能力。

一、巧用函数思想攻克方程问题

利用函数思想求解方程，往往是将方程问题转化为函数问题。有些方程问题，若直接利用解方程的方法予以解决，难度较大，不易突破，若能用函数思想求解，则可以化难为易，使问题有效获解[2]。因此，在高中数学教学中，教师要注意渗透函数思想，引导学生在分析和解决方程问题，尤其是含参数方程的个数问题时，要灵活转换思维，拓宽思路，巧用函数图像和性质，攻克方程问题。

y1=的图像是抛物线y2=2x+1（y≥0）,

二、巧用函数思想处理数列问题

数列是高中数学课程至关重要的内容，也是一大难点问题。数列本身就是一种离散的函数，其序号为自变量，项为函数值。在处理某些数列问题时，教师要注意引导学生把握数列与函数的内在联系和共同本质，然后利用函数思想，将数列看作特殊函数，再结合函数相关知识，使数列问题得以迎刃而解。

（2）假设n=k时命题成立，即3＜ xk+1＜ xk成立。令很明显地，f(x)在[3，+∞)上单调递增，令f(x)=x,求得函数f(x)的不动点是（1，1）和（3，3）。即当n=k+1时，成立，故3＜ xn+1＜ xn成立，即（1）（2）问题得证。

在解答数列问题时，教师要注意指导学生抓住数列的特征和规律，巧用函数思想，架起函数与数列之间的桥梁，从而使数列问题快速、准确地获解。

三、巧用函数思想突破不等式问题

解不等式的实质是等价转化，但在转化过程中，容易出现增根、漏解以及错解等情况。若能利用函数思想，合理构造函数，找到解题突破口，则可以避繁就简，达到事半功倍的效果。因此，在高中数学解题教学中，在解答有关不等式问题时，教师要注意启发学生用函数思想解决不等式问题，优化解题过程，提高解题效率。

分析：考虑到所求证的不等式中含有x、y两个量，不妨将x看作变理，y看作参数，构造函数f(x)= xlnx+ylny-(x+y)然后再利用函数单调性即可得证。

证明：当x=y时，等号显然成立。当x≠y时，由于x、y地位相同，可以设x＞y＞0，令f(x)=xlnx+yIny-（x+y）ln1=0，所以f(x)在（y,+∞）中为增函数，故f(x)＞f(y)，又f(y)=2ylny-2ylny=0,所以f(x)＞0，即故综上所述，可知

函数思想在解不等式问题中有着广泛的应用，函数与不等式的知识综合是高考考查的重点和热点。通过巧妙构建函数，明确函数关系，既可以使问题简化，思路开阔，又可以避开烦琐运算，减少计算时间，在平时的教学中，教师要注意加强这方面的训练。

结 语

总之，函数是刻画客观世界中两个变量之间相互关系的重要数学模型，它贯穿于高中数学知识的始终。在高中数学教学中，教师要不断创新教学方法，帮助学生深刻理解和掌握函数知识，注意灵活渗透函数思想，并引导学生迁移运用函数思想，借助函数概念、性质、图像等知识点，轻松妙解数学问题，从而夯实学生数学基础知识，让学生领悟数学思想方法，提高分析和解决问题的能力。