多情景多视角探究生产消费中的利润最大化问题

杨文皓

（成都实验外国语学校西区2019届（1）班，四川 成都 610000）

一、引言

在生产生活中，盈利是其必然目的。而随着时代的发展与进步，生产、营销方式趋向多元化，新材料、新技术的产生使得盈利的方式发生了改变。这不禁引发笔者的思考：每一个生产过程和销售过程有何不同，根据这些区别与限制，又该分别建立哪种模型、采用哪种方式盈利呢？

本文将对几类常见的生活实际现象，立足高中数学知识，采取线性规划、函数模型的建立并求极值、探究利润最大化问题。

二、利润最大化的多视角分析

（一）视角1：利用线性规划探究利润最大化

在生产过程中，材料资源、人力资源、效率之间的有机结合十分重要，在大量的生产实例中，资源始终是有限的，如何在有限的时间内，以最少的人力，最低的材料成本，产生最大的利润，值得我们探讨。

实例：对材料进行初加工还是精加工，已成为当今生产的重点问题。某公司有材料a 300kg，有材料b 180kg，拟对材料a与材料b进行分配，已知1kg材料a，0.6kg材料b可生产1件粗加工产品，同时3kg材料a、2kg材料b可生产1件精加工产品。材料a每kg成本300元，材料b每kg成本100元，且生产一件粗加工产品需6天，1件产品人工费1天100元，产品售价2760元；生产一件精加工产品需10天，1件产品人工费1天200元，而产品售价高达7300元。限定在1200天内完成生产，则该采取怎样的分配策略才能使利润最大？

分析：简化问题，除去人工费与材料成本，计算利润。

粗加工产品1件获利：2760-6×100-1×300-0.6×100=1800元。

精加工产品1件获利：7300-10×200-3×300-2×100=4200元，粗加工虽人力、物力、材料消耗小，但全进行粗加工，利润比较小，不太可取；

精加工看似利润较高，若全进行精加工，人力、物力、材料消耗大，不太可取。

数据整理：为了体现科学性与直观性，现列出以下列联表

?

建立模型：设生产x件粗加工产品，y件精加工产品。

根据表格中的数据，可列出以下不等式：

甲材料消耗不超过300kg：x+3y≤300

乙材料消耗不超过180kg：0.6x+2y≤180

总生产时间不超过1200天：6x+10y≤1200

生产实际件数为整数：x∈N*，y∈N*

利润为目标函数：Z=1800x+4200y

不等式组表示的可行域如图所示：

由图可得：当目标函数经过点（100，60）时，直线截距最大，目标函数取得最大值：

Zmax=1800×200+4200×120=432000（元）

（二）视角2：利用变量的关系建立函数探究利润最大化

在生产生活中，总会出现两个相关量变化趋势不同的情况，此时建立函数，统一变量之间的关系，利用函数求最值的办法即能找到利润最大值点。

实例：成都某旅行社旅游团以乘机形式出游，旅行社订飞机总成本12000元，飞机最多乘坐45人，旅行团中每人的飞机票有如下收费方式：若旅行社的人数多于30人，则，旅行社给每张机票减免20元作为优惠；若旅行社的人数在30人及以下，则每张机票按原价收费800元，则当机票的最大盈利为？

分析：设每张机票最终收费m元，旅行团的人数为x∈N，机票利润为y，

将函数分为两段讨论处理：

当 1≤x≤30 时，y=800x-12000，m=800

当 30＜x≤45 时，y=（1400-20x）x-12000=-20x2+1400-12000，m=800-20（x-30）=1400-20x

分段讨论函数的最值并取其最大值：

①函数在1≤x≤30单调递增，

当 x=30时，ymax=800×30-12000=12000元

②当30＜x≤45时，令y′=-40x+1400＞0

可得30＜x＜35，即函数在30＜x＜35单调递增，在35＜x≤45单调递减

当x=35时，ymax=12500元

综上所述：当旅行社有35人时，旅行社可获得最大利润12500元。

（三）视角3：利用统计与概率进行预测与决策，使得利润最大化

当今消费形式大大改变，如何投消费者所好异常关键，精明的商家会根据以往的销售结果进行评估，找到发展趋势，并以此制定销售计划，在对变量的变化趋势不明确甚至一无所知时，可以利用整理数据，通过了解数据的大致变化，利用求数学期望的形式进行预测与决策，适当调整售价、进价等销售手段，实现利润最大化。

实例1：乐山名食甜皮鸭是一类卤制凉菜，夏天在笔者家乡颇受人们欢迎，一般的甜皮鸭成本15元，售价25元一斤，第二天有剩余则以12元的价格处理回总部（甜皮鸭保存时间短，长时间放置丧失口感）。乐山某甜皮鸭销售店打算从总部下订单，每天送等量甜皮鸭，根据店主的经验，销量（需求量）与当天的气温有关．如果气温不低于25℃，热天凉菜销量好，需求量为250只；如果最高气温位于在20℃到25℃范围内，需求量为150只；如果最高气温低于20℃，销量较差，需求量为50只．六月份的生产计划该怎样进行决策，才能使得利润最大？

分析：对于此类问题，不同的天气对于不同需求需求与进货量之间难以有机统一，变化不规则，可见生产生活是复杂的，不可片面研究，主观臆断。

为了保证数据的普遍性，统计了近三年六月份每天的气温，整合数据并作出如图频数分布表：

?

每天的销售情况可分为 x=250、150、50（只）

估计不同天气下的销售情况概率为：

气温不低于 25℃：P（x=250）=（36+20+4）/90=2/3

气温在[20，25）：P（x=150）=20/90=2/9

气温低于 20℃：P（x=50）=（2+8）/90=1/9

则销量x的分布列为：

?

设进货量为m（斤），利润为W（元）

由于销量在50—250之间，故m范围只需为：50≤m≤250（只）

①当50≤x≤150时：

气温低于20℃，则可以原价25元售出50斤，其余以12元回收总部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

气温高于20℃时无论是在[20，25）还是大于25℃均可卖完，则全以原价25元售出150斤：

W=25m-15m=10m

则总利润的数学期望为：EW=1/9×（650-3m）+（2/3+2/9）×10m=77/9m+650/9

②当150≤x≤250时：

气温低于20℃，则可以原价25元售出50斤，其余以12元回收总部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

气温在[20，25）℃，则则可以原价25元售出150斤，其余以12元回收总部：

W=25×150+12（m-150）-15m =1950-3m

气温不低于25℃均可卖完，则可以原价25元售出250斤：

W=25m-15m=10m

则总利润的数学期望为：EW=1/9×（650-3m）+2/9×（1950-3m）+2/3×10m

=17/3m+4550/9

综上：当m=150只时，EW有最大值12200/9元

故应将150只作为进货决策。

三、视角评价

本文从三个生活中常见的例子出发，用不同的数学方法试图去解释其背后的数学原理，使得我们可以用严肃的观点去理解身边发生的事件，用理性的思维去理解事件背后的规律。对同一个问题，本文给出了一种典型的数学分析方法，并不是说仅仅只有这样的方法才可以去探究，从事件不同的角度去理解，就会有不同的方法来建立数学模型。本文的方法可以用来参考。

在视角1中，对于分配资源、投料等实际调度问题，且不可主观臆断，采取极端生产方式并不能达到利润最大化，而利用数学建模，采取线性规划，可以求出最优解所在位置，更加准确地进行参考。

线性规划具有较好的几何直观性，可以在条件约束的情况下，对目标方位进行图形化描述，根据几何意义和边界条件，进行直观的求解，并且能迅速的找出目标点。因此该方法是类似于条件极值的一种思维方法。

在视角2中，对于多变量的盈利问题，我们应找到量与量之间的变化与制约关系，进而借助函数武器求极值，找到利润最大值点，在实际问题中还要考虑函数模型的定义域，做到准确、有实际意义。

该方法将极值放在函数的观点之中，借助函数的灵活性，从具体上升到抽象去研究极值点的存在与否，用函数的研究方法去解决利润问题，利润最大化的问题实际上就是函数的极大值是否存在，在什么条件下存在的问题。

在视角3中，对于实际销售方案类决策问题，往往各个量的变化方向不明确，受外界影响较大，此时应该根据以往的数据进行分析与统筹，采取数学期望或利用样本的回归直线大致估计发展趋势，较为准确的判断利润最大值点的位置。

对决策类问题，由于条件之间的关系不如线性规划类清晰，因此需要根据已知的数据，提取关键信息，具体的方法包括利用概率论观点进行参数估计，或者对已知数据进行函数拟合，根据拟合出的函数进行推测，这样的方法在没有明确的数学规律的情况下，是比较有效的科学的分析方法。

四、总结与展望

利润最大化的方式远不止这几种，在发展的时代中，大数据统计、分析正走进我们生活，利用好所学的数学知识帮助我们实现利润最大化即彰显了数学之美，又与时代和生活息息相关。我们在数学学习过程中更应该注意与生活的联系，脱离题海，真正把数学代入社会，我们必将感受到数学的独特魅力。

下一步的工作，是综合利用不同的数学工具，对问题从不同的角度去分析，用多种方法不同角度分析的好处，是可以互相印证方法的科学性和评价结果的可信度。随着数学方法的发展，分析具体问题的途径也会越来越灵活。