应用题，过三关

余建国

不懂音乐理论仍可以唱歌，不学机械力学照样可以获得熟练的手艺与实验技能，但是为什么我懂数学却不会解数学应用题呢？这是很多面临高考的同学在一次又一次模考时面对应用题总是一头雾水的感叹.不要急，读完本文，你就可以变成既懂乐理又会唱歌的歌手了.

一、起笔要过三道关

那么，应用题的“乐理”在哪里呢？我们知道，数学学习的重要目的是应用，是解决问题，我们已习惯于解决满是数学术语和符号的、纯粹的数学习题，对那些来自生活实际的原型问题反而陌生了，而从原型到模型有一个识别理解、抽象概括的思维过程，最后从模型到数学模型还有一个加工过程——数学化.因此，为了顺利解答高考数学应用题，考生必须过好三关，即心理关、阅读关和建模关.

“拿下应用题你就双脚踏进大学门了”，老师这话一点不假.应用题后面通常是函数与导数、数列两个压轴题，对中等生来说得分也不多了，所以老师主要是鼓励你，想不到我们同学把这话当负担了.这心理关要过！实事求是地讲，正如前面所述，考试中的应用题只是将某个数学模型还原为原型，即用具有一定实际意义的情境包装一下（此时，离真正的原型还是有距离的），考生要做的是拆开包装、露出真容——读懂题意，引入字母，抽象概括，建立模型.下面和同学们重点聊聊如何闯过阅读关和建模关，

正因为需要“还原”，通常应用题是字数最多的考题，并且出现若干同学们不太熟悉、难于理解的“专业”术语，如下文例题中的“政府补贴”、“市场平衡价格”、“冷轧机”、“减薄率”等，显然.应用背景与我们的生活联系越紧难度就小，反之难度大；阅读量与难度成正比.所以，过好阅读关需要耐心读题，画出“专业”术语，回忆自己的知识结构中与之相关的阅历，将术语放到整个题目中去理解，一般来说，如果真的出现冷僻的术语，可能课本中出现过或者生活中见过，例如，“单利”、“复利”在数列学习中介绍过，又如菜场现场加工面条的机器就是简单的“冷轧机”，通过反复阅读，揣摩题意，整体理解，判断应用题的数学模型类型，就可以进入建模关了.

数学模型的特点是符号化.符号语言的优越性在于表达概念严谨、简洁，术语引入科学、自然，指意简明，书写方便，大大缩短了语言表达的“长度”，较容易揭示数学本质属性.符号语言有助于运算，便于思考，式子将关系融于形式之中，教科书上各种数学公式的表述均采用符号语言.因此，通常在高考（代数方面）应用题解决过程中，要么自己引入字母符号，也就是“设……为x，设……为y，设……为z，……”，建立这些字母间的等量或不等量关系，确立它们的允许取值范围；要么理解题目中所给每一个字母的含义，寻找它们的取值范围，建立新的等量或不等量关系，

二、以例说法话闯关

接下来举例说明——以两道经典的高考应用题为例.

例1 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为z元/kg，政府补贴为t元/kg，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P kg与市场日需求量Q kg近似地满足关系：

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.

（l）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

（2）为使市场平衡价格不高于10元/kg，政府补贴至少为每千克多少元？

阅读 经济常识（政治课上学过）告诉我们，当日供应量P>日需求量Q时，商品过剩，价格就会下降；反之，价格就会上升，政府通过价格补贴的方法间接控制日供应量P和市场价格.“当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格”，等式P=Q中只有两个字母x和t，这样我们就找到了x和t的关系，这个关系中的z不再是“市场价格”，而是“市场平衡价格”，按照（l）的要求，政府补贴t为自变量，市场平衡价格x是t的函数.

“为使市场平衡价格不高于10元/kg”，也就是说，不等式“x≤10”成立，求自变量t取值范围，例2 图1为一台冷轧机的示意图.冷軋机由若干对冷轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

（l）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度β，若每对轧辊的减薄率不超过r₀.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600 cm.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L_k.为便于检修，请计算L₁，L₂，L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

阅读 题目长，慢慢读，一遍不行再来一遍，冷轧机没见过，但原理还是通俗易懂的，正如菜场现场面条加工，每次面皮宽度不变，只是一次又一次地将面皮压薄（一下子压薄到位，面皮会断，更何况带钢）.轧钢厂为了全自动作业，一对轧辊轧（减薄）一次，n对轧辊连续工作，就完成了带钢由厚变薄的过程.

术语“减薄率”在题目中给出了解释，其实跟“增长率”意义是一样的，只不过是大小关系前后相反，一般来说，专业术语“按规定做”，即题目中怎么定义，我们就这么表达.原厚度为a，轧一次，由于每对轧辊的减薄率不超过r₀，即减掉的厚度不超过ar₀，剩余厚度不少于a-ar₀=a（1-r₀）ⁿ经过n对轧辊连续工作后的厚度应不少于a（1-r₀）ⁿ”.从而建立不等式，

第（2）问有点吓人.某对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，经过这对轧辊的带钢上就留下一连串的点——相邻两点间的距离都是这对轧辊周长.带钢再经过下一对轧辊的挤压，由于带钢相邻两点间的体积不变，且宽度不变，不计损耗，因而两点间的距离就会变大.抓住体积不变性建立方程求解.我们回忆一下，物理实验室用的打点计时器是否也是类似的原理呢？打点的时间间隔不变，我们根据纸带上相邻两点间的距离变大或变小，判断小车运动速度的快慢，这样想一想，既增强了解决应用题的自信心，又类比出解决问题的原理——抓住不变性.

三、理解转化是关键

上面两例在高考应用题史上非常有名，尤其例2.之所以“有名”，主要是得分率太低，绝大部分同学被“轧钢问题”“轧死”了，据统计平均得分才零点几.除了消除对应用题冗长的叙述、不熟悉的情境、难于理解的术语等的恐惧外，考场上需要考生静下心来，第一遍快速读题，对整个问题了然于心；第二遍字斟句酌，理解每一个术语的含义，推敲它们之间的关系，弄清楚已知什么，求解什么；第三遍“问什么设什么”，引入字母，建立数学模型，实现实际问题（原型）向数学问题的转化.