找准内在联系，建立数学模型

王思俭

考试结束了，学生涌出考场，边走边议论，“今天的应用题，我没有想到它是什么模型”“我又没有理解题意，不知道如何建立数学模型”“题目中的参量较多，不知道选择哪一个作为自变量”“应用题的数学模型究竟有哪些，我背了前几年的数学模型，但一到考场里就全忘记了，不知道怎样寻找几个量之间的联系”……我为此邀请几位学生针对数学应用题的建模问题进行交流，旨在通过对几道应用题的分析，引导学生寻找变量与变量、变量与参量的内在联系，掌握建立数学模型的基本思路.

生甲：如图1，某海岛观察哨A测得在海岛北偏东60°的C处有一轮船，80 min后测得船在海岛北偏西60°的B处，又过20 min轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5 km的E港口.如果轮船始终做匀速直线运动，求轮船的速度.

我没有读懂题意，这题的数学模型是什么？我建立直角坐标系求解，运算量较大，过程太繁琐，没有成功！

师：首先要弄清楚本题有哪些条件，结论要求什么？条件有4个，结论是计算轮船的速度，我们只要计算BE或BC的长.你们知道线段BC与BE所用的时间之比是多少吗？

众生：4：1.

师：于是问题可以转化为我们要求的线段长度之比是多少？

众生：也是4：1.

师：你们再阅读题目，找一找还有哪些已知条件？

师：这些边与角的条件出现在3个三角形中，建立解三角形的数学模型就可以解决问题.

师：很好！本题是以解三角形为背景的应用题，数学模型就是路程与速度的模型.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.

师：你们阅读理解这句话：“若该参与者通过浮桥AB的过程中，从点0处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则，认定在这个游戏中不过关，”领会它的含义是什么？能否提供建立数学模型的相关信息？

师：本题的第（2）小题数学模型是三次函数模型，通过点在直线上建立函数关系式，将解三角形、直线方程、两点间距离公式、导数等相关知识整合在一起，然后再利用导数求解，最后再回到实际问题中来.

生甲：如图3，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ =5.2 km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=-5/13，游船离开观光岛屿3 min后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）.假設游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66 km/h.

（l）设sin α=4/5，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；

（2）设小船速度为10 km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q.

第（l）小题的数学模型是方程类的问题，解直角三角形，建立方程；第（2）小题是三角函数模型.但由于我没能正确理解方位角，导致建模错误，因此本题没有得分.

师：解数学应用题首先是对相关概念、信息要理清楚，如方位角的概念，它是指从指北方向顺时针转到目标方向线的角；其次正确选择数学模型，如本题是属于追及类问题（方程、函数），要抓住同时到达；再次选择合理的运算方法进行求解；最后回到实际问题中去.

师：正确！本题的数学模型并不是很复杂，但关键是挖掘题目中的隐含条件，收集题目中的相关数据并认真分析，当遇到困难时，再读题，再思考还有哪个条件或数据没有用上.

解应用题的关键就是提出问题，收集数据，整理分析数据，建立模型，分析求解，回归检验，正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有着广泛应用，从以上3题的分析过程我们可以获得求解应用题的基本策略：

（l）弄清题意是前提，通过阅读，知道讲的是什么，训练自己独立获取知识的能力.

（2）建立模型是关键，需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.在构建数学模型的过程中，要有对数学知识检索的能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化.

（3）正确解模是目标，建立了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，并加以检验，需要扎实的基础知识和较强的数理能力.

（4）提高能力是根本，正确快捷地求解应用题需要提高各种综合能力，