伽利略变换在相对运动中的应用

金年庆

运动的合成与分解是处理曲线运动的基本方法，其中速度的合成与分解互为逆运算，都遵循平行四边形定则.

教材中利用红蜡块在竖直的玻璃管中的运動展示了运动的合成问题，引出了合速度是两个分速度的矢量和.速度的合成是由两个已知分速度合成为一个合速度，速度的合成具有确定性.对一个确定的速度也可以进行分解，速度的分解是速度合成的逆运算.由一个确定的速度分解成两个分速度具有任意性，分速度与合速度满足平行四边形定则的矢量关系.

与速度的合成与分解不同，相对运动速度关系也是矢量运算的关系，但不能按任意方式进行.相对运动中速度的关系满足伽利略速度变换v绝对=v相对+v牵连，即绝对速度是牵连速度与相对速度叠加或合成的结果.伽利略速度变换也满足矢量运算规则，但是牵连速度和相对速度是两个参考系之间速度关系的反映，在对两个不同参考系间的速度变换时，必须根据两个参考系间速度的关联关系来确定速度变换.伽利略变换中的绝对速度只能由相对速度和牵连速度合成，而不能将绝对速度“分解”为牵连速度和相对速度，与速度分解不同，绝对速度与牵连速度和相对速度的关系不是“分解”关系，不具有任意性.

首先以小船渡河为例说明，研究对象是小船，参考系有两个，绝对参考系——河岸，相对参考系——水.

①绝对速度——船对岸的速度；

②相对速度——船对水的速度；

③牵连速度——水对岸的速度.

速度矢量运算公式：v船对岸=v船对水+v水对岸，遵循平行四边形定则和三角形法则.

例1 河宽以d表示，船的划行速度以v1表示，水流的速度设为v2，v1>v2，求渡河的最小位移.

解析 船相对岸的速度即为船的实际速度v，根据伽利略变换

v船对岸= v船对水+v水对岸

即v=vl +v2

cosθ=v2/v1，渡河位移最小为d.

变式1：如图2所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标M.假设运动员由A点沿AB方向骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，直线跑道离固定目标M的最近距离为d，要想在最短的时间内射中目标（不计空气阻力和重力影响），则运动员放箭处和射箭方向应该为（）

A.在B处射出，箭头指向M

B.在B处射出，箭头指偏向A点的方向

C.在AB间某处射出，箭头指向M

D.在AB间某处射出，箭头指向垂直于AB方向

解析 研究对象是箭，绝对参考系为地面，相对参考系为马，根据伽利略变换，v箭对地= v箭对马+v马对地.要想在最短的时间内射中目标，箭对马的速度v2垂直于AB方向，同时使箭的实际速度v的方向对准固定目标，如图3所示.可得射出时的位置距B点的距离x为，x=d v1/v2，所以正确选项为D.

答案D

例2 某人骑自行车以10 m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以同样大小的速率从北方吹来，实际上风的速度是 （）

A.14 m/s，方向为北偏西45。

B.14 m/s，方向为南偏西45。

C.10 m/s，方向为正北

D.10 m/s，方向为正南

解析 首先弄清各个速度，以风为研究对象，绝对参考系为地面，相对参考系为人，绝对速度为风相对地的速度 v风，相对速度为风对人的速度v，牵连速度为人相对地的速度 v人·如图4所示.

答案A

例3 玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的割刀速度为10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道方向应控制为____，切割一次的时间为____.

小结：相对运动速度关系也是矢量运算的关系，同样遵循平行四边形定则，但与速度的合成与分解有本质的不同.运动的合成与分解都是指同一物体的运动，例如课本上红蜡块的例子，红蜡块的运动可以分解为水平方向和竖直方向两个分运动，同时两个分运动还可以合成为红蜡块的实际运动.本文中的例子都是不同物体的运动，不好直接合成，更谈不上分解了，但可以借助伽利略速度变换公式来求解.应该公式解题的关键是熟练掌握公式，找准研究对象，弄清绝对参考系（一般取地面）和相对参考系，正确认识绝对速度、相对速度和牵连速度.