二步迭代法在中心仿射Hölder条件下的收敛性*

徐秀斌, 周文静

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

设X,Y是Banach空间,D⊆X是一个非空开凸子集,F:D⊆X→Y为非线性算子,且有连续的Fréchet导数F′,本文考虑非线性算子方程

F(x)=0

(1)

的求解问题.求解上述非线性算子方程最经典的方法是Newton法,取定初始点x0∈D,其迭代过程为

xk+1=xk-F′(xk)-1F(xk),k=0,1,….

(2)

在非线性算子F的一阶Fréchet导数连续且满足Lipschitz条件的情况下,Newton法的收敛阶为2.由于广泛的应用背景,众多学者对Newton法的收敛性做了大量研究,得到了各种收敛条件，如文献[1-5]中所述.

文献[4]给出了L平均的径向Lipschitz条件:

(3)

文献[5]在文献[4]的基础上提出了更一般的L平均仿射径向Hölder条件:

(4)

在条件(4)下证明了Newton法(2)的局部收敛性,得到了收敛阶为1+p和解的唯一性.

有些学者对Newton法进行了修正,如文献[6-10]研究了如下的二步迭代法:

(5)

受以上文献启发，本文假定F′,F″分别满足L平均中心仿射Hölder条件和L平均Lipschitz条件:

(6)

式(6)中:x,y∈B(x*,r);ρ(x)=‖x-x*‖;p∈(0,1];L1,L2是正的单调非减可积函数.本文将利用条件(6)证明方法(5)的局部收敛性,并给出收敛阶和解的唯一性.

1 局部收敛性分析

为证明局部收敛性定理,先引入如下引理，其中的1)和2)引自文献[10]，3)引自文献[5].

定理1设F(x)是一个非线性算子,D是非空开凸子集,F:D⊆X→Y.假定

1)F(x)=0有解x*∈D,F′(x*)存在且可逆;

2)在B(x*,r)⊂D内F′,F″存在,且分别满足L平均中心仿射Hölder条件和L平均Lipschitz条件(6);

3)r>0且满足

(7)

4)r0,r1∈(0,r),并且是下面方程组的解:

(8)

进一步,其误差估计满足:

(9)

设x,y∈B(x*,r),则由式(6)和式(7)可得

(10)

由文献[10]中的引理1得

故

且

根据引理1、式(6)和式(7)有

所以,

‖xk+1-x*‖≤

(11)

因此,

(12)

式(12)中,Zk=ρ(xk)+ρ(yk)+ρ(xk+1).式(11)说明数列{‖xk-x*‖}单调递减且有界,所以极限存在.下证其极限为0.设极限为α(0≤α

下证R收敛阶.由式(11)和式(12)可得:

ρ(xk+1)≤Jρ(xk)3+Cρ(xk)ρ(yk)p,k=0,1,2,…;

ρ(yk+1)≤[Jρ(xk+1)2+E(ρ(xk)+ρ(yk)+ρ(xk+1))p]ρ(xk+1)≤

2 解的唯一性

定理2假设F(x*)=0,F在B(x*,r)内有连续的导数,F′(x*)-1存在,且F′满足L平均中心仿射Hölder条件

其中:ρ(x)=‖x-x*‖;L是正的非减可积函数.若r满足

则方程F(x)=0在B(x*,r)的解唯一.

证明 对任意的x0∈B(x*,r),引入迭代法

xk+1=xk-F′(x*)-1F(xk),k=0,1,2,…,

(13)

则

x1-x*=x0-x*-F′(x*)-1(F(x0)-F(x*))=F′(x*)-1[F′(x*)(x0-x*)-F(x0)+F(x*)].

因此，当ρ(x0)≠0时,

其中,

由数学归纳法易证

3 结 语

方程组(8)有一组解为r1≈0.32,r2≈0.49,且x0∈B(x*,r0),y0∈B(x*,r1).在今后的工作中可考虑怎样简化定理1的条件.