转化，再转化

姚海燕

很多同学平时用基本量法和数列性质解决等差、等比数列的基本问题已经得心应手，但面对较复杂的数列问题可能会束手无策.下面我们一起来探讨这样一类问题：已知关于相邻两项或三项之间的关系式，求其通项公式.

这种转化在高三一轮复习中较为常见，但很多同学不知为何要如此配凑，仅仅邯郸学步是不可取的.其实此种递推式可采用迭代法去转化化归，即不断重复替换，直至替换到首项a1（迭代的表象是下标逐步递减，直至减到1），最后转化为等比数列求解.

解题回顾 上面三种方法解法很类似，目的都是将一般数列转化为等比数列.从平时的作业、试卷中可看出，很多同学在数列递推式面前畏惧不前，说明对此类题型感觉很陌生，故在复习过程中要不断总结反思，归纳通解通法，淡化解题技巧.

同学们不难观察出中括号内的数列求和实为“等差·等比”数列求和，可借助大家熟悉的错位相减法继续得出结果.

解题回顾 以上两种方法都是有意识地把一般数列转化为等比数列或与之相关的熟悉问题，但所取方式不同.解析1是用待定系数法重新构造等比数列，较为复杂，大部分同学很难想到；解析2是利用条件递推式迭代，直至首项，计算也比较烦琐.这两种方法虽蕴含技巧，但的确是解决数列问题的通性通法，对同学们的观察总结能力和计算能力提出了较高要求.

分析 前面给出的都是相邻两项的关系式，它们都可以通过迭代或构造转化为我们熟悉的数学模型.那么更进一步地，此题给出相邻三项或者更多项的关系该如何转化化归呢？继续转化为特殊数列，迭代或构造均可尝试，鉴于此题迭代的复杂性和篇幅问题，我们以直接创造新特殊数列为例作简单介绍.

在解決数列问题的过程中，我们要尽量将陌生转化为熟悉，将一般转化为特殊，通过重整问题框架或结构，转化为已解决过的数学模型和方法，从而顺利、简捷地解决问题.