等比数列与分形

沙国祥

上期我在《对称与对称破缺》一文的最后说到，数学作为一种文化，其基本问题或思想往往在很久前就有了萌芽，但当时未必明了或引申其深远意义.一旦发掘出新的意义和价值，这些问题或思想便会大放异彩.

这样的例子，历史上并不鲜见哩！

我们先来瞧一瞧几个与等比数列有关的“怪图”，它们在数学史上曾被晾在一边，现在却因为是分形而名声大噪.至于何为分形，它们如何与等比数列牵起手来，现在暂且不表，读完本文你自然知晓.

一是如今大名鼎鼎、风光无限的康托尔集（不久前在网上看到一篇文章，方知它声名远播至数学圈之外，有人用康托尔集研究股市呢）.100多年前，康托尔集初生之时，还不为当时的“主流数学”所瞩目，一如康托尔初创的集合论，尚未在数学中立稳脚跟，更不谈闪亮登场啦！那康托尔集究竟是啥模样？

康托尔集也称“康托尔三分集”，是由不断挖去直线段中间的三分之一而创造出来的（如图1所示）.

可怜的康托尔集，被挖得七零八落、所剩无几！但是，它居然还深深蕴含着一个等比数列的求和公式呢！其实，康托尔集是个“宝山”，其中还藏着许多宝贝，以后再慢慢挖掘吧！举一个例子：如果每次挖去的线段都是“无头”的（可视为数轴上的开区间），那么，康托尔三分集中还剩下无穷多个点，可是这些点不成气候，它们组成的康托尔集的长度（在数学上我们严格地称之为“测度”）为0.

我们再看看有趣的“谢尔宾斯基碎片”——它在历史上也曾被抛进被人遺忘的角落，如图2，它是由一个正三角形开始，每次不断被挖去每个黑色三角形中间的一个小的正三角形而得，直至被挖得千疮百孔，最后所得的图形——“谢尔宾斯基碎片”，也是奇怪无比：面积为0，周长却为无穷大！（面积每次减少四分之一，周长每次扩大为原来的1.5倍，你只需看图2中第1幅到第2幅图就明白啦！）

这就是上期我在《对称与对称破缺》文末介绍的欧几里得证法啊！

它穿越2 000多年，现身于康托尔三分集、谢尔宾斯基碎片这样的“分形”中.

何为“分形”？康托尔三分集、谢尔宾斯基碎片中的每个局部，都分别与整个图形相似，这样的图形被称为“分形”.分形的这种无穷白相似特性（比的不变性），与等比数列有着天然的密切联系，也因此具有所谓“标度对称性”——在放大或缩小时某些量或性质保持不变.

分形的研究约始于50年前，法国数学家曼德尔勃罗特在一篇奇文<英国的海岸线有多长》中首次阐述了分形，现在分形几何成为数学的热门学科，并广泛渗透到很多学科领域中去.于是，原先鲜为人知的“怪图”，如康托尔集、谢尔宾斯基碎片，还有本期封底介绍的“雪花曲线”等，便见怪不怪，反而成为典型的分形几何研究对象，从受人冷落之客，一跃而升为数学、科学殿堂的座上宾！

你说，这事儿怪不怪？