概率四问待澄清

甘志国

数学学习能够培养人的理性思维，在概率中，存在一些似是而非的问题，需要通过明澈的理性思维加以明辨、澄清，以下即为其中四个.

1.已经试验过的事件不是随机事件

读者可以认真领会“已经试验过的事件不是随机事件”这句话是正确的，也可参见笔者发表于《中学数学杂志》2004年第7期的文章《已经试验过的事件不是随机事件》.

例1 （某教輔（2012年版）作业题）下列事件中，随机事件的个数为

（）

（1）方程ax+b=0有一个实数根；

（2） 2009年5月15日，去美国旅游的小王感染甲型HIN1流感；

（3）在常温下，焊锡融化；

（4）若a>b，那么ac>bc.

A.1

B.2

C.3

D.4

错解 选C.（1）、（2）、（4）是随机事件，（3）是不可能事件，

注 应选B.（2）不是随机事件.因为“2009年5月1 5日”已经过去，谈不上“可能发生或不发生”，也谈不上“事先预测”.若把“2009年5月15日”改成“2019年5月15日”（现在是2018年），则此事件是随机事件.

2.概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件不一定是不可能事件

有不少读者认为，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，反过来叙述也是正确的，即有：概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件一定是不可能事件，实际上，它们均不对，

这在几何概型中容易举出反例：

反例 假设一质点T可随机地落在线段[0，2]上，记“质点T落在线段[0，2]的中点1上”为事件A，“质点T落在线段[0，2]上”为事件B，“质点T落在线段[0，2]上但不落在端点0也不落在中点1上”为事件C.

有P（A）=0，P（B）=P（C）=1，但C不是必然事件，A也不是不可能事件.

3.当P（A∩ B） =0时，不能得出A，B互斥；当P（A∪ B）=P（A）+P（B）时，也不能得出A，B互斥

若A，B互斥，则P （A ∩ B）=0；但是，若P（A ∩1B） =O，却不能得出A，B互斥.这是因为P（A∩B）=O即事件A，B同时发生的概率为0，但还是可以同时发生的，所以它们不互斥.

比如，选A，B为上文所举反例中的事件A，B，则A ∩B =A，P（A ∩B）=O，而A，B可以同时发生，即不互斥.

由公式P（A∪ B）=P（A）+P（B）P （A∩ B）可知，P（A ∪ B）=P（A）+P（B）<=>P （A∩B）=0，所以“当P（A∪B）=P（A）+P（B）时，也不能得出A，B互斥”.

例2 （某教辅（2012年版）作业题）若P（A∪B）=1，则互斥事件A与B的关系是 （）

A. A，B之间没有关系

B.A，B是对立事件

C.A，B不是对立事件

D.以上都不对

错解 选B.因为P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，所以P（A）=1-P（B）.由对立事件的概率的性质和公式知A，B是对立事件.

注 应选D.显然A，B可以是对立事件；若选A，B分别为上文所举反例中的事件A，C，则事件A，B符合题设，但A，B不是对立事件.

例3 （普通高中课程标准实验教科书《数学3.必修A版>（2007年第3版）第142页B组第2题）若P（A∪ B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）

A. 互斥不对立

B.对立不互斥

C.互斥且对立

D.以上答案都不对

解 选D.显然排除选项B（因为对立一定互斥）；选项C的含义就是对立，这不一定成立，如选A，B分别为上文所举反例中的事件A，C即知；选项A也未必成立，如选A，B分别为上文所举反例中的事件A，B即知.

（注：与教科书配套使用的《教师教学用书》第122页只给出了答案“D”，无任何过程.）

4.“独立”不一定“互斥”，“互斥”也不一定“独立”

甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，在这个问题中，记“在甲坛中摸出白球”为事件A，“在乙坛中摸出白球”为事件B，显然事件A，B相互独立，但不互斥，

设5张票中只有1张是奖票，甲、乙两人按先后顺序轮流不放回地抽1张票，在这个问题中，记“甲抽到奖票”为事件A，“乙抽到奖票”为事件B，显然事件A，B互斥，但不相互独立.

设5张票中只有2张是奖票，甲、乙两人按先后顺序轮流不放回地抽1张票.在这个问题中，记“甲抽到奖票”为事件A，“乙抽到奖票”为事件B，显然事件A，B既不互斥也不相互独立，

读者容易举出两个事件既独立又互斥的例子：随机事件A和不可能事件V.还可证明：若事件A，B既互斥又相互独立，则P（A）=0或P（B）=0.

猜想 事件A，B既互斥又相互独立<=>A是不可能事件或B是不可能事件.（显然，只需证明=>.）