三角恒等变换，重在掌握“变”法

金玉明

一、化归方法，变的灵魂

化归方法的含義是把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经解决，或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决.在三角恒等变换的学习过程中，常用的化归方法主要有化同角、化同名、切弦互化、降幂运算等.

二、知识迁移，注重变式

运用迁移指导学习活动，就是在学习中，发现问题的相似之处，促进新知识的学习；同时注意在解题中实施变式研究，既注重基本又注重变化，做到举一反三、触类旁通、温故知新.下面我们从几个实例出发，谈一谈具体迁移的方法.

（一）给值求值（角）问题

本例是课本第105页例3、第108页例1、例2等例题的迁移.考点是三角恒等变换.三角函数的给值求值，关键是用已知角表示所求角.常见的问题主要有：（1）已知角为一个时，所求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.（2）已知角为两个时，所求角一般表示为已知角的和或差.本题显然是题型（1），如果将本题进行知识迁移，方向可以是：已知条件变成两个已知角的三角函数值，求另一个可以用已知角表示的未知角的三角函数值、求未知角的大小等问题.

（二）给角求值

本例是课本第110页例5的迁移.“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，进而求出三角函数值.同时“化同角”又是解决问题的第一视角和切人点.求值过程中始终抓住化为同角的基本思路，观察式子中每个因式之间角的关系，进行合理化简.

（三）化简问题

本例是课本第121页例3的迁移，考点是考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目.解答本题，首先要观察函数表达式的结构特征，因为在函数性质探讨中，最终目标是要化简成f（x） =Asin（ωx+ψ）+b的形式，所以关键在于能利用三角公式化简函数，进一步讨论函数的性质，能较好地考查同学们的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.本题的化简经历了多项式相乘、降幂、辅助角公式三个主要步骤，同时化同角、降幂的主要思路也是化简成功的关键.

当然本题还可以继续深入研究函数的相关性质等，这就需要将三角恒等变换与三角函数性质结合，解决问题.

（四）恒等式证明

对于恒等式证明，主要解决问题的方法仍然与化简、求值相同.

本例是课本第120页例2的迁移.解决问题的过程中，首先考察的是等式左边，比较复杂，所以要化简，而等式两边角的不同，考虑“化同角”，化同角的同时也在升幂，这也符合等式右边的4次特征.由此合理使用二倍角公式以及完全平方公式，即可解决问题.观察等式两边结构特征，进而选择合理的化归公式解决问题，是三角恒等式证明的关键.

三、归纳总结，量变引起质变

在学习过程中，可以多联系课本和练习题，寻找题目之间的内在联系，合理归类.比如三角恒等变换的内容，在观察式子结构特征后，通常先从“化同角”作为切人点，然后进行“切弦互换”、“降幂”、“化同名”等，基本就可以找到解决问题的方法.通过推广、类比、逆向等思维方式进行知识迁移，相信你一定能在三角恒等变换的空间里自由翱翔，