强化关联意识，善用几何性质

叶琳

同学们最近学习的三角函数是高中数学的重点内容，除了涉及三角函數的图象和性质（周期性、单调性等）、三角恒等变形、三角求值等，还体现在与函数、向量、解析几何等知识的交汇所融合成的综合题，这些问题的解决不仅取决于同学们的基础知识和技能，也取决于对数学方法的熟练运用，更取决于思维上的整合、化归和迁移，

一、三角函数与函数方程的综合

三角函数是一种基本初等函数，与一般函数是个性与共性的关系，一些三角函数问题就是基于一般函数的性质来解题.

例1 若动直线z一以与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，求MN的最大值.

分析 本题考查的是直线与两条曲线相交线段长的最值问题，通过观察图象我们发现M，N两点的横坐标相等，线段MN的长度可以用M，N的纵坐标来表示，转化为关于a的三角函数来求解.

小结 求最值问题首先应该考虑构造函数，根据题意将文字语言和图形语言进行正确的“翻译”也是常见的求解策略，通过分析图形特征，挖掘图形中的隐含关系，将图形中的定性描述转化为定量的代数关系，使得求解过程得以简化.

例2 函数y=asin（ax+θ）（a>0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为

二、三角函数与向量等知识的综合

三角函数是高中数学中重要的知识，平面向量多以工具性的作用呈现和结合在其他相关知识中，两者兼有数和形的二重性.在三角函数和向量的综合问题中，我们除了熟练运用三角和向量的基础知识外，解题时还要结合思想方法的渗透，注意发挥几何图形的直观作用和向量的工具性作用，

小结 三角函数的基础是几何中的相似三角形和圆，本题在向量运算中渗透了三角知识，条件NP=（√2cosa，√sina）是解题的关键，通过对题目的深入探究，不难发现本题想通过NP模的几何意义构建圆，探索圆上动点的动直线与圆外定直线的夹角问题，虽然坐标代数运算是我们解题的重要方法，但是同学们不要忘记三角和向量具有的数、形二重性，几何方法也是解题的重要方法，在学习中要克服“习惯性”偏爱“坐标”运算解题的习惯，应在理性分析基础上选择运用代数还是几何方法解题.

三、三角函数的实际应用

三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用，是解决生产实际问题的工具.

解析 本题没有给出自变量，如何选取恰当的参数表示出阴影部分面积S是本题的难点，将已知条件集中到三角形中是解题的关键，观察发现E，F点的变化引起阴影面积的变化，保证∠EAF=45°，因此我们可以选取∠EAB=a为参数，然后利用三角恒等变换及其相关知识解题，选取角作为变量建立函数模型是常见的解题思路，

数学是思维的科学，学数学的重要性不只体现在数学知识的应用上，更重要的是体现在数学问题的思维方式上.上述几个问题的分析启发我们在学习中遇到问题要多观察，思在算前，注意根据已知条件所提供的有用信息和求解目标所需要的信息，加强发散和联想，从已有知识、方法系统中搜索相关的信息，进而寻找到合理的解决方式，借助数学思想进行尝试、化归.长此以往我们的思维意识将更清晰，思维目标更明确，