高中数学建模素养的培养方法

欧阳炼

[摘 要] 数学建模素养是高中数学核心素养构成要素之一。数学建模活动体现出全面的数学能力。数学建模作为一种问题解决的方式，是提高学生应用素质的最好途径。在教学中，可以通过下列途径来提升高中生的数学建模素养：从生活中的问题出发，培养学生数学建模的兴趣与意识；重视学生数学阅读的训练，为培养学生的数学建模素养打下基础；在合作学习中让学生经历数学建模的过程，形成数学建模的能力；通过反思和运用，完善学生数学建模的认知结构，提升学生的数学建模素养。

[关键词] 核心素养；数学建模；数学阅读；合作学习；反思

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建数学模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求得结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。

培养学生数学建模素养具有以下实践意义：1.让学生体会数学的应用价值，培养数学应用意识和运用能力；2.增强学生学习数学的兴趣，培养团队合作意识，提高分析问题和解决问题的能力；3.让学生知道数学知识的发生过程，培养他们的数学创造能力和创新意识。

一、从生活中的问题出发

学生进入高中以来，从各个方面接收到的信息就是高中数学很难，学生普遍对数学学习产生恐惧心理，对数学建模没有兴趣。为了克服这个问题，笔者引入贴近学生生活的事例，以生活情境的方式在课堂上展示给学生，来描述数学问题产生的背景，这样就拉近了数学和学生的距离。这些有一定的趣味性的问题可以很好地吸引学生，满足学生好奇好动的心理要求，从而让学生对所学内容产生兴趣，产生强大的学习动机。

笔者所在的学校是一所寄宿高中，并且，学生宿舍没有配备洗衣房，这样，学生每天都需要自己洗衣服。从这个生活实际出发，在研究二次函数的最值问题时，笔者就引入了下面这个问题情境：

假设大家在洗衣服的时候，衣服已经用了洗涤剂，并搓揉得很充分，这个时候我们需要把衣服上的洗涤剂冲洗干净。首先我们把衣服拧一拧，把脏水拧掉，当然不可能拧干，拧后衣服上还残留含有污物的水1公斤。如果我们还有20公斤清水用来漂洗，最多只能漂洗两次，问题是要怎样漂洗才能将衣服洗得更干净？

学生一拿到这个问题，马上就议论纷纷：

学生甲：肯定是分两次洗得干净，可以漂洗两次。

学生乙：那可不一定，水的总量是20公斤，是固定的。

学生丁：我自己洗衣服都是漂洗次数越多越干净，应该是分两次洗会更干净，每次用10公斤的水来漂洗就可以了。

这个问题把学生的积极性调动起来，学生对这个问题充满了兴趣，非解决这个问题不可。

数学新课程标准指出：数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。“数学来源于生活，又服务于生活。”通过从生活中的问题出发，创设合适的问题情境，可以很快地抓住学生的心理，让学生对数学建模产生兴趣，愿意运用数学知识来解决问题，从而培养他们数学建模的兴趣和意识。

二、重视学生数学阅读的训练

数学阅读能力就是学生阅读、领会和理解数学材料的能力。在课堂上要引导学生对问题中的各项因素进行分析，找出因素之间的关系和制约各因素的条件，用数学语言进行描述和解释，从而准确地在情境问题和数学问题之间进行转化，为培养学生的数学建模素养打下基础。

笔者在课堂上经常采用的方法就是特殊情况研究法。先解决一个很简单的特殊问题，引导学生对问题中的各项因素进行分析，找出因素之间的关系和制约各因素的条件，从而锻炼学生的阅读能力。例如在解决学生怎样漂洗才能把衣服洗得更干净这个问题时，笔者在学生对问题感兴趣之后再问了两个问题，让学生独立思考：

1.如果洗一次，把衣服放进20公斤的水里面，那么连同衣服上那1公斤的水，一共有多少公斤的水？拧干后，衣服还有1公斤的水，污物残留量和原来残留量的比值是多少？

2.如果分两次洗，第一次用5公斤水，污物残留量是原来量的多少比值？再用15公斤的水，污物残留量是原来量的多少比值？

学生通过自主研究这两个问题，就能得到结论：一为 [121]，二为 [16×116=196]。这事实上就是学生完成对这个问题的数学阅读，搞清楚问题中各个因素的关系。

在课堂上教师一定要注意学生数学阅读能力的培养，引导学生认真审题，分清题中重要的关系，排除无关因素的干扰，将题中具体的数量关系理清，将实际问题转换为数学问题，最后将文字语言转换为图形语言或者数字语言，建立数学模型。

三、在合作学习中让学生经历数学建模的过程

同伴之间的交流与合作，更有利于学生描述和交换他们的数学思维。因为在讨论的过程中，教师和学生尽力解释和论证自己的模型，倾听并理解他人的模型，形成新的模型。

例如在解决怎样漂洗才能把衣服洗得更干净这个问题时，学生在独立阅读和思考后进行合作学习：

同学甲：同样分两次洗，也可以每次使用10公斤水，每次污物残留量是原来的[110+1=111]，两次漂洗后，污物残留量是原来的[111×111=1121]。相比较把水分成分成5公斤和15公斤的水洗两次残留[196]要更少。我觉得应该是把水平均分来洗效果最好。

同学乙：有没有同学算到比[1121]还小的数？

同学丙：虽然我们都没有算到比[1121]还小的数，但是数有无穷多个的，我们怎么保证其他所有情况都比[1121]大呢？我觉得是否可以建立一个函数模型来解决这个问题？

同学们再一次陷入了思考和讨论中。

同学丁：将这桶水分成两部分，设其中一部分是[x]，则另一部分是[20-x]，其中[x<20]。两次漂洗后，污物残留量是[f（x）]=[1（x+1）（20-x+1）]，这时只需要求[f（x）]的最小值就可以了。但是这个函数的最小值应该怎么求呢？

同学甲：这个问题可转换为求[g（x）=（x+1）（20-x+1），x<20]的最大值来解决啊。我们可以令[g（x）=（x+1）（20-x+1）=-（x-10）2+121]，这是一个二次函数，通过它的图象，我们可以知道当[x=10]时，[g（x）]有最大值121，即[f（x）]有最小值[1121]。所以，把水桶里的水平分两次来洗，洗涤效果最好。

在合作学习的过程中，学生进行了数学思维的碰撞，经历了整个数学建模的过程，掌握了数学建模的方法，形成了数学建模的能力。

四、通过反思和运用完善学生的数学建模的认知结构

学生的反思包括对问题表征的反思、对策略选择的反思、对模式识别的反思、对推理过程的反思。及时进行反思，系统归纳、总结经验可以完善数学建模的认知结构，是提高学生建模能力的重要途径。例如在解決学生怎样漂洗才能把衣服洗得更干净这个问题后，让学生反思整个数学建模的过程：

1.模型分析：认真阅读问题的背景，对问题中的各个因素进行分析；通过特殊情况的研究，加深对数学模型的理解。

2.模型建立：运用从特殊到一般的数学思想，建立问题的数学模型。

3.模型运用：通过数学知识来解答这个数学模型，并对问题进行现实意义的解释。

在教师的引导下，学生通过反思和运用，对数学模型的认识经历了由感性到理性再到感性的过程。在这种循环往复、螺旋上升的过程中，学生的数学建模素养得到进一步的提升。

责任编辑 李杰杰