基于直观想象“3个水平划分”的教学*——以“几何法”解向量问题为例

●王 华 (桐乡第二中学，浙江桐乡 314511) ●沈金兴 (凤鸣高级中学，浙江桐乡 314500)

直观想象是《普通高中数学课程标准(2017年)》(以下简称《新课标》)中所提出的六大核心素养之一．《新课标》给出的定义是:借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养［1］．由此可见，《新课标》要求学生更多地借助几何直观或者空间图形想象来描述、分析和解决问题．而空间立体几何与平面几何可统称为“几何图形”，因此应用几何图形的直观模型是培养直观想象核心素养的最主要途径．

1 直观想象“3个水平划分”的解读

《新课标》同时还给出了直观想象核心素养的3个水平划分．它就是从描述数学问题、理解数学问题和探索解决数学问题这3个方面进行划分的，可简明扼要地这样理解:

水平1能够在具体情境中抽象出实物的几何图形，能够根据图形想象实物．

水平2能够在关联的数学情境中想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题．

水平3能够综合利用图形理解数学各分支间的联系，能够在科学情境中借助直观想象建立数学与其他学科的联系，并形成理论体系的直观模型解决问题．

南京师范大学的喻平教授认为学科核心素养应包括“知识理解”“知识迁移”和“知识创新”这3个层面［2］．笔者认为知识的理解、知识的迁移和知识的创新可分别对应于学科核心素养的一级水平、二级水平和三级水平，因此喻教授3个发展层次的划分与《新课标》的3个水平划分基本一致，异曲同工．

当然，《新课标》中这些由低到高的水平层次是分先后顺序的，学生在某一水平上要达到理解和迁移，其前提必须具备前一水平上的大部分能力;反过来，学生在某一水平上理解不深，到了高一层次水平反过来俯视前一个层次内容时，就可能理解清楚了［3］．于是笔者将3个水平划分高度概括一下:水平1相当于“看图想式”或“看式译图”，即看到图形就能联想到数学式子或将数学式子“翻译”成几何图形，也就是知识理解的层次;水平2相当于逆向思维——“看式构图”，由数学式子(如等式、不等式、向量式等)联想构造一个图形来解决问题，这就难了很多，属于知识的迁移;水平3相当于综合的“联系应用”，既可以是数学各知识点的互相联系，也可以是跨学科联系建立模型应用，属于知识的创新使用以解决问题．因此喻平教授的3个划分层次“知识理解”“知识迁移”“知识创新”正好成为《新课标》中3个不同水平直观想象的划分标准．

当然，即便是同一水平的直观图形，也有高低不同的层次之分．此时的划分标准，笔者认为可按思维含量的高低来区分．比如，同是“看式构图”水平2的直观想象，需要用到“知识迁移”，而迁移有同化迁移、顺应迁移与重组迁移．同化迁移是指直接将原有认知经验应用到本质特征相同的一类事物中，因而思维难度较小;而顺应迁移指将原有认知经验应用于新情境中，需要更高一级的认知结构，故思维难度增加;重组迁移指重新组合原有系统中某些构成要素以建立新的联系，从而适用于新情境，思维难度更大．因此，还可将水平2的直观想象按迁移的同化、顺应与重组作为划分标准，即以构建图形的思维难度从低到高可再细分为第一层次、第二层次和第三层次，不过思维的难易度也都是相对而言的．

众所周知，向量是既有大小又有方向的量，因此它本身就是一个“数与形”的结合体，从而就成了沟通代数、几何和三角的桥梁．作为具有“两重性”的向量，它有很多定义、运算或结论都可用几何图形的直观来呈现．既然向量的这些运算与几何直观是“与生俱来”的，那么在解决向量问题时，除了用代数法、坐标法外，还可以用几何法．因此，向量就成了培养直观想象核心素养的最佳载体．下面以“几何法”解决向量问题为例来体现直观想象3个水平的教学．

2 教学设计

2．1 教学内容与学情分析

本节课是在高三复习“平面向量”这一章节时的应用巩固课，是综合应用向量定义、运算的几何意义等知识，采用几何法解决向量问题的一个微专题．由于是专门集中应用几何直观来解题，故先要回顾向量中涉及几何意义的相关知识，然后按直观想象从低到高的不同层次水平设计相应的例习题．

虽然前面已复习巩固了平面向量的相关知识，又学习了代数法、坐标法等解决平面向量问题的方法，为本节课打下了一定的基础．但是由于没有系统学习基于直观想象的几何法解决向量问题，直观想象素养在向量这一章节中还没有得到很好的培养，再加上学生在应用几何直观图形解决向量问题时不熟练，因而导致学生对于这一类向量问题无法解决或者说是无法运用更好的方法加以解决．

2．2 教学目标与重难点

1)教学目标:能一目了然想出图形所要表达的与向量有关的数学式子或者用几何图形来呈现简单的向量关系式;能通过联想后构造某个几何图形进行说明并解决相关的向量问题;利用直观想象将向量与其他数学知识综合应用或者是跨学科的综合联系应用．

2)教学重点:借助不同层次直观想象水平的几何图形解决向量问题．

3)教学难点:构建水平3的几何直观图形解决向量问题．

2．3 教学形式

采用小组合作与借助信息技术进行局部探究的形式．为了更有效地突破学生的思维难点，课堂上将学生进行分组，5人一组，共分成8组，分别记为1，2，…，8．每组中的学生数学程度好、中、差不等(教师隐性分层)，从低到高分别记为A，B，C，以便让不同层次的学生回答不同水平的问题．比如1组生B，表示第1小组中程度中等的学生．

2．4 教学过程

师:我们已复习巩固了向量的相关知识，知道了许多向量式子都可用几何图形来呈现．比如向量的加法、减法、数乘，尤其是向量数量积的几何意义．

几何意义1数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ之积;

图2

图1

结论1如图2，平行四边形对角线与四边关

2．4．1 水平1直观想象向量题

师:先研究比较简单的几何法解向量题，只需“看式译图”或“看图说话”即可，然后再循序渐进，逐渐提高用几何法解题的难度．

例11)已知 a≠0，b≠0，且|a|=|b|=|a －b|，则 a 与 a+b 的夹角为______．

2)已知 a+b+c=0，a⊥b，且|a|=1，|b|=2，则|c |= ______．

先让每个小组进行讨论，然后让小组中某一人进行回答．

1组生A:第1)小题，以a，b为邻边构造一个平行四边形，则该四边形为菱形，如图3，且a与b夹角为60°，很明显a与a+b的夹角为30°．

图3

图4

2组生A:第2)小题，以a，b为邻边构造一个平行四边形，因为a⊥b，所以该四边形为矩形，如

例21)在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则______．

(2012年浙江省数学高考理科试题第15题)

3组生A:第1)小题，将题目条件画成图5，则由数量积的几何意义2得

图5

图6

4组生A:第2)小题根据题意画出图6，由图及数量积的极化恒等式形式得

设计意图上述2个例子的4个小题都可用“代数法”解决，比如应用两边平方法、向量回路等技巧，但比较“死板”且计算量较大．把已知条件和所求目标根据向量的几何意义“翻译”成几何图形，用初中已学的平面几何性质就能立刻求得，体现出了几何法的优越性．由于只需要将条件转化为几何图形即可，“看式译图”(例1)或“看图想式”(例2)都比较简单，故属于水平1的直观想象．

2．4．2 水平2直观想象向量题

1)水平2的第一层次．

例31)若|b|=1，＜b，b－a＞ =30°，则|a|的取值范围是______．

2)已知 a，b是单位向量，且 a⊥b，(a－c)·(b－c)=0，则|c|最大值为______．

5组生A:第1)小题根据条件构造图7，显然若a与b的始点相同，则a的终点轨迹就是直线AB，于是|a|的最小值就是当OA⊥AB时OA的长度，即

图7

图8

6组生B:第2)小题根据题意作图，因为(ac)⊥(b－c)，由“对角互补，四点共圆”的结论可构造一个圆，而圆内为内接正方形，如图8．于是|c|的最大值为圆的直径长

设计意图这2个小题都是根据题目条件构造图形，属于“看式构图”，但也需要平面几何知识的迁移，是水平2的直观想象．不过由于图形较易想到，所求的范围、最值也直观明了，故是水平2的第一层次，因而每小组程度中等及以下的学生也能回答．

2)水平2的第二层次．

例4已知△ABC的外接圆圆心为O，且AB=

7组生C:我们小组在刚开始作出图后就束手无策了，后来经过讨论，认为既然两个向量毫无关联，那么肯定要转化，让这两个向量找到共同点，于是联想到同一个起点A，即这时就很自然想到数量积的几何意义1，也就是上的投影，如图9，然后根据圆的“垂径定理”得

图9

设计意图此题综合性较强，除了需要“转化与化归思想”外还要联想到数量积的“投影”几何意义与“垂径定理”，是顺应迁移，属于水平2直观想象的第二层次．学生也是经过相互讨论探究，才逐渐想到该方法的，故让程度好的学生回答．

3)水平2的第三层次．

(2014年浙江省数学高考理科试题第8题)

8组生C:我们小组刚看到题目也是毫无头绪，因为条件给出的是两个最值函数，而可选项却都是向量，不知如何处理．在讨论时仔细观察了4个选项，发现有|a|，|b|，|a+b|，|a －b|，于是联想到平行四边形的对角线与四边关系的结论，构造以a，b为邻边的一个平行四边形，如图10，则有关系式

图10

设计意图该题的“看式构图”难度很大，只能从可选项的形式中联想到平行四边形中的结论．可这样还不行，还需要理解两个不等式才能作出正确选择．由此可见，该题属于重组迁移，是直观想象水平2的第三层次，有利于训练学生丰富的想象力．学生通过讨论，在思维碰撞后产生联想，也能解决该题．因此，小组合作、讨论探究后的互相启发有利于培养学生直观想象的核心素养．

2．4．3 水平3的直观想象

师:经过前几个例子的练习，大家都有了运用几何法解向量题的基础，也积累了应用几何图形解题的经验．为了充分发挥大家的想象力，可能还需要与其他学科联系起来，创新应用跨学科知识来解数学题，或整合数学各个知识点间的联系进行创新应用．

例6在△ABC内有一点 O，且满足+0，则点O是 ( )

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

教师让几个小组中程度较好的学生回答，结果都是用数学方法解决，无学生想到用其他学科知识来做，于是只好由教师自己讲解．

师:刚才几组同学都是用数学知识来解决，当然是可以的，但如果这样做，体现的思维水平不高．如果我们能拓展一下思路，发散思维，充分想象，可利用跨学科的物理知识来解决．比如构造这样一个物理直观模型来理解，如图11，平面上3个不同的点A，B，C分别作用在点O上的C ，由 于说明合力为0．根据牛顿第一定律，合力为0的物体或静止或匀速运动．现在△ABC静止，而要让一个物体保持静止，则只有把支撑点放在物体的重心上才能保持平衡，于是得点O就是△ABC的重心．

设计意图向量题与物理知识联系起来，利用了牛顿第一定律很直观地解决了数学问题，且不需要计算，属于跨学科的创新应用．因此，如果是从物理学视角去分析解决题目，就属于水平3的直观想象．

图11

图12

例7如图12，已知在Rt△ABC中，CB=CA=2，点M为AB的中点，点P为△MAC内任意一点(包含边界)，若把△MAC沿边MC翻折，使得的最小值等于－，则锐二面角A-MC-B为 ( )A．75° B．60° C．30° D．45°

图13

2组生C:如图13，先利用向量的几何意义2的极化恒等式得

设计意图将平面向量与立体几何联系起来，并把数量积的几何意义2拓展到了三维空间，同时还涉及到了立体几何中的翻折问题，充分训练了学生的空间想象力，综合应用了数学中相关知识的互相联系，属于水平3的直观想象．

2．5 回顾与小结(略)

3 教学反思

《新课标》提出的六大核心素养，对中学一线教师来说似乎高深莫测，其实不然，只要仔细研究、深入挖掘，完全可以设计出符合《新课标》要求的生动案例，让学生在不知不觉中提升核心素养的水平．

本节课设计的3个不同水平、不同层次的直观想象例题，是层层递进的，在教学时也是让学生循序渐进、逐渐适应的，最后达到开阔学生视野、拓展学生思维的效果，很好地培养了学生的直观想象核心素养，由此得到核心素养培养方面的若干教学反思．

反思1核心素养的培养宜按从低到高的水平递进，以本节课的实际授课情况看，将直观想象的3个水平从低到高来呈现例子的方式最容易被学生接受，学生解决了低水平的题目后，既掌握了方法又增强了自信，然后循序渐进地提高水平，学生也会渐入佳境，达到最终目标．

反思2同一水平不同层次的设计应在学生的最近发展区．在设计同一水平的例子时，也要按从低到高的层次递进，且中间不要跳跃，即在思维上要处于学生的最近发展区．如都是水平2的直观想象例子，其知识迁移就是按其思维难度从低到高的同化迁移、顺应迁移与重组迁移来发展．

反思3水平3案例的应用前需要适当铺垫才能作为核心素养水平3的例子，即需要知识的创新应用，这说明无论是跨学科的知识联系应用还是数学知识间的综合应用，都具有较大难度．因此应用前需教师作好铺垫，搭好脚手架，才能让学生顺利解决．如本节课的例6，由于事先没有作好跨学科知识的铺垫，学生根本不会想到用物理学的视角去思考，最终导致只能由教师来讲解此法，这也是本节课的不足之处．