球冠状凹陷对圆柱壳轴向临界载荷的影响

潘力，李美求，池道

(长江大学机械工程学院，湖北 荆州 434023)

无缝钢管焊接而成的导管架[1,2]主要是用来支撑海洋平台上部结构，以承受轴向载荷为主。导管架式海洋平台结构[3]在服役期间，其结构会因各种损伤使得承载能力发生变化[4,5]。结构凹陷[6]是常见的损伤之一，通常是结构在制造 、拖运和安装过程中由于碰撞产生，也可能是结构在服役期间因重物掉落或船舶停靠碰撞[7]造成。结构凹陷严重影响结构的安全性和完整性[3]，凹陷损伤结构极限承载能力[8]对服役结构体系的安全检测、评定[9,10]意义重大。

然而，目前对于球冠状凹陷半径、深度及位置对圆柱壳轴向临界载荷影响的研究还比较少。为此，笔者通过线性屈曲分析模块数值模拟球冠状凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度对圆柱壳轴向临界载荷的影响，并且拟合球冠状凹陷对圆柱壳轴向临界载荷的计算公式。

1 球冠状凹陷模型

图1 球冠状凹陷模型

球冠状凹陷模型如图1所示，其中，凹陷位置用凹陷中心离固定端面的距离用ξ表示，凹陷半径用R表示，凹陷深度用H表示，圆柱壳长度用L表示。忽略凹陷区域壁厚的变化。

欧拉公式广泛用于未受损圆柱壳受轴向外压的稳定性求解，其一般形式为：

(1)

空心圆柱极惯性矩I计算公式为：

(2)

式中，σcr代表轴向应力，MPa；Fcr代表轴向临界压力，N；A代表径向截面积，m2；E代表弹性模量，GPa；I代表极惯性距，m4；μ代表长度系数；D代表外径，mm；α代表内外径比值。

圆柱壳长度可能对仿真结果精确性有影响，确定合适的长度值来降低仿真误差。构造以2600mm作为第1项，公差为200mm的圆柱壳长度等差数列。圆柱壳失稳仍处于线弹性阶段，用线性屈曲分析模块对圆柱壳进行屈曲仿真。建立模型并导入Ansys Workbench中，对导入的模型划分网格，在模型一端施加固定约束，另一端仅保留轴向自由度，在Loads中对轴向自由度端面施加pressure为1MPa，圆柱壳长度增加使得承载能力降低，为了使圆柱壳保留一定的承载能力，仅求解前7项，仿真与欧拉公式得到的轴向临界载荷结果如表1所示。

由表1可知，仿真与欧拉公式结果相差不大，仿真比较准确。当圆柱壳长度为3200mm时，两者相差最小，因此将圆柱壳长度L设定为3200mm。

2 结构参数对轴向临界载荷的影响

对于球冠状凹陷，其R应不小于H，且球冠状凹陷的深度太深会导致仿真模型与实际不符，将最大凹陷深度取为圆柱壳外径的一半，凹陷深度太浅会导致轴向临界载荷变化太小，最小深度取10mm。当凹陷深度一定，凹陷半径增加，凹坑的形状变化率逐渐减小，凹陷半径R的值达到150mm时，R继续增加，球冠状凹陷的形状变化不大，取凹陷半径R的最大值为150mm。凹陷太靠近圆柱壳两端，会使得凹陷缺失，失去了与其他凹陷的对比作用，因此球冠状凹陷中心离固定端面的距离不能离两端部太近。

2.1 凹陷位置对轴向临界载荷的影响

取凹陷半径R为30、90、150mm，凹陷深度H为10、20、30mm，距离ξ取200、600、1000……、3000mm，屈曲仿真得到的轴向临界载荷结果如图2所示。

图2 ξ对临界载荷的曲线

据图2可知，H、R不变，ξ变化使得临界载荷变化近似呈现正弦规律，9条临界载荷曲线两两相交，有且仅有2个交点，交点大致在波峰处。波峰区域是圆柱壳对凹陷最不敏感的区域，波谷区域临界载荷处于临界载荷曲线最低点，以此推断波谷区域是圆柱壳对凹陷最敏感的区域。H、R取不同值，ξ变化对临界载荷的影响程度不同，H、R越大，在同一位置对轴向临界载荷的影响程度越大。承受轴向载荷的圆柱壳对缺陷的敏感程度与凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度有关，最敏感区域和最不敏感区域不随凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度的变化而变化。

2.2 凹陷半径对轴向临界载荷的影响

为了更好地反映凹陷半径变化对临界载荷的影响规律，将凹陷建立在圆柱壳对凹陷最敏感的区域之一，取ξ为2000mm，凹陷深度H为10、20、30mm时，凹陷半径R在30、90、150mm变化，屈曲仿真得到的轴向临界载荷结果如图3所示。据图3可知，3条曲线在R变化下呈现同一规律：随着R变化，轴向临界载荷先迅速减小，随后逐渐稳定,曲线进入稳定的快慢不同，H越小，越容易达到稳定。H不同，R变化对临界载荷的影响程度不同，H越大，R对临界载荷的影响也越大。

2.3 凹陷深度对轴向临界载荷的影响

圆柱壳对凹陷的最敏感区域与最不敏感区域仅与凹陷位置有关，为了更好的反应凹陷深度变化对临界载荷的影响，将凹陷建立在圆柱壳对凹陷最敏感的区域之一，取ξ为2000mm，凹陷半径R为30、90、150mm时，凹陷深度H在10、20、30mm变化，屈曲仿真得到的轴向临界载荷结果如图4所示。据图4可知，3条曲线在H变化下呈现同一规律：随着H逐渐变大，轴向临界载荷值逐渐变小，变化率越来越快。R不同，H变化对临界载荷的影响程度不同，R越大，H对临界载荷的影响也越大。

图3 R对临界载荷的影响曲线 图4 H对临界载荷的影响曲线

3 受损圆柱壳轴向临界载荷表达式的拟合与验证

无凹陷圆柱壳轴向临界载荷计算较多的运用线性小扰度屈曲理论，运用该理论对于凹陷损伤的圆柱进行稳定性求解，必然会导致较大的误差。在上述仿真数据的基础上，对数据进行拟合，得出适用于球冠状凹陷对圆柱壳受的轴向临界载荷计算公式。

3.1 受损圆柱壳临界载荷表达式的拟合

ξ的变化使得轴向临界载荷曲线接近正弦曲线，用Matlab拟合工具箱选择Fourier对临界载荷表达式进行拟合，表达式的基本形式如式(3)所示：

f(x)=a0+a1cos(xw)+b1sin(xw)

(3)

式中，x是变量，代表距离ξ；f(x)是x的函数，代表临界载荷。

将R、H对应的ξ值及轴向临界载荷代入式(3)，拟合得到的结果如表2所示。

表2 a0、a1、b1、w的计算结果

据表2可知，当凹陷半径相同时，随着凹陷深度增加，a0、a1、的值逐渐变小，b1的值逐渐变大，w在0.0027附近波动。当凹陷深度相同时，随着凹陷半径增加，a0的值不变，a1的值逐渐变小，b1的值逐渐变大，w在0.0027附近波动。

因w在0.0027附近波动，将w取为0.0027，H为10 mm时a0、a1、b1与R的关系如下：

fa0(R)=159

(4)

fa1(R)=-0.2R0.4

(5)

fb1(R)=0.045R0.4

(6)

R不变，H变化，计算a0、a1、b1值与10 mm所对应的a0、a1、b1值的比例关系，分别用ka 0、ka 1、kb 1表示，结果如图5～图7所示。

图7 kb1系数图谱

将式(4)～(6)及ka 0、ka1、kb 1代入式(3)中，得到凹陷圆柱壳的轴向临界载荷表达式如式(7)所示：

(7)

3.2 受损圆柱壳临界载荷表达式验证

参照ξ、R、H的变化范围选择ξ、R、H的值，分析结果与拟合结果如表3所示。

表3所示绝对误差普遍在1.0%～2.0%，最大绝对误差为4.45%，平均绝对误差为1.5%，满足工程分析的需要。

表3 拟合、仿真结果

4 结论

基于线性屈曲分析模块探究了凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度对圆柱壳轴向临界载荷的影响，得到以下结论：

1)承受轴向载荷圆柱壳对缺陷的敏感程度与凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度有关，最敏感区域和最不敏感区域不随凹陷位置、凹陷半径、凹陷深度的变化而变化。凹陷位置变化使得轴向临界载荷值近似呈现正弦规律；凹陷半径的增加引起轴向临界载荷的减小，且变化率逐渐降低；凹陷深度的增加引起轴向临界载荷的减小，且变化率逐渐增加。

2)用Fourier级数拟合球冠状凹陷对圆柱壳的轴向临界载荷计算公式，拟合值与仿真结果平均绝对误差为1.5%，满足工程分析的需要。