一类准齐次核的Hilbert型级数 不等式成立的充要条件及应用

洪 勇, 曾志红

(1. 广东财经大学 统计与数学学院, 广州 510320; 2. 广东第二师范学院 学报编辑部, 广州 510303)

1 引言与预备知识

目前, 关于Hilbert型不等式的研究已有很多结果[1-11]. 设p>0,α是常数, 定义空间

(1)

为Hilbert型级数不等式. 不等式(1)可等价地化为

(2)

(3)

为T的(p,p)型算子范数.

定义1设λ,λ1,λ2为常数,t>0, 若K(x,y)满足

K(tx,y)=tλλ1K(x,t-λ1/λ2y),K(x,ty)=tλλ2K(t-λ2/λ1x,y),

则称K(x,y)为具有参数(λ,λ1,λ2)的准齐次函数.

证明: 由于K(x,y)是具有参数(λ,λ1,λ2)的准齐次函数, 且由

可得

因此有

同理可得ω1(m,β)≤mλλ1-(λ1/λ2)((β+1)/q-1)W1(β).

2 主要结果

K(x,y)≥0是具有参数(λ,λ1,λ2)的准齐次可测函数,s+r=1(0

均收敛. 则：

(4)

2) 若M0是式(4)的最佳常数因子, 则

当c=0时, 有

证明: 1) 设式(4)成立. 若λ1c<0,λ2c<0, 取am=m(-α-1+λ1cps)/p,bn=n(-β-1+λ2cqr)/q, 则有

由式(4)～(6), 得

(7)

从而可得

(8)

2) 首先由式(8)可知

当c=0时, 式(8)可化为

(9)

对足够小的ε>0, 取am=m(-α-1-|λ1|ε)/p(m=1,2,…),bn=n(-β-1-|λ2|ε)/q(n=1,2,…), 则有

对足够小的δ>0, 存在N, 使得n>N时, 有n-λ2/λ1<δ. 记

则有

由式(9)～(11), 可得

令ε→0+, 得

于是有

再令δ→0+, 得

3 应 用

由于式(1)与式(2)等价, 因此由定理1可得:

定理2设算子T由式(3)定义, 则在与定理1相同的条件下, 有:

2)T的(p,p)型算子范数满足

当c=0时, 有

则：

2) 当c=0时,T的(p,p)型范数为

当c=0时，

则:

2) 当c=0时,T的(p,p)型范数为

当c=0时,