寻觅命题依据 把握教学方向*——对2018年全国高考数学卷I理科第12题的探析

□王淼生 林晴岚

（厦门第一中学，福建厦门 361003；福建教育学院数学研修部，福建福州 350025）

万众瞩目的2017年版普通高中数学课程标准已闪亮登场，期盼已久的新版高中数学教材呼之欲出.以立德树人及学科核心素养为聚焦的课程改革正在稳步推进，我们迎来了备受关注的2018年高考.本文对2018年全国高考数学卷I理科第12题进行探析，寻觅专家命题依据，从中洞察高考试题有哪些变化，折射怎样的命题理念，又带给我们什么教学启示.

一、真题呈现

例题已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）.

二、命题依据

让我们一起来回顾《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）第123～125页中的案例，就能寻觅到专家命题的依据.当我们用一个平面截正方体，截面的形状会是怎样的呢？

《新课标》首先提出：如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？还能截出哪些多边形？为什么？

《新课标》进一步提出：能否截出正五边形？为什么？能否截出直角三角形？为什么？有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？是否存在正六边形的截面？为什么？

《新课标》最后还提出：截面面积最大的三角形是什么形状的三角形？为什么？

《新课标》之所以设计系列问题串，是为了教师在教学过程中，以人为本、以生为本，针对不同学生来设计不同的教学方式，在最近发展区开展教学，凸显高中数学新课程理念：“人人都获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”同时提醒一线教师，可以引导学生通过多种方法实施研究.比如，通过切萝卜块观察截面以启发思路；通过往透明正方体盒子里面注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面形状来操作实验；还可以通过现代信息技术直观快捷地展示各种可能的截面来观察截面变化过程.

《新课标》之所以设计螺旋上升的问题串，意在让学生经历逐渐深入的探究过程，培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情境中提升直观想象、数学抽象以及逻辑推理等核心素养，积累数学探究活动经验.

三、提出问题

例题题意清晰，短小精悍，优雅高质，一经出炉立即吸引一线教师眼球，成为截面问题的完美典范.由于例题作为选择题，参考答案仅仅只给出正确答案为A.阅卷得分数据表明此题得分较高.无论一线教师还是学生，通常都认为作为高考选择题压轴题，理应有一定难度，甚至较大难度，纵使得分较低，甚至很低也属正常现象，历年来的高考便是证明.

高考结束后，笔者求证不少考生，几乎异口同声地回答：“很简单，截面就是正六边形.”笔者特意请教不少同行，查阅相关期刊，同时关注网络，几乎都是没有经过任何推理论证而直接默认面积最大时的截面就是正六边形.

然而，笔者一直在思考：为何面积最大时只能是正六边形呢？为何正六边形面积就是最大？如何证明正六边形面积最大？为何想到正六边形呢？为何不是正五边形？为何不能是正四边形（即正方形）？正如爱因斯坦教诲：“提出一个问题往往比证明一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个教学上或实验上的技能而已.而提出新的问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，都需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”

四、似曾相识

客观地讲，例题中所涉及的截面问题并不新颖.比如，我们在网络、教辅书及各地模拟试卷中经常遇见以下试题：

例1：用一平面截正方体后得到的截面不可能是以下哪种图形____________.

①钝角三角形；②直角三角形；③正三角形；④菱形；⑤不是矩形的平行四边形；⑥正五边形；⑦正六边形.

例2：若一个平面与一个正方体各条棱所成的角均相等，则该角的正弦值为________.

例3：若一个平面与正方体6个面所成的锐二面角均相等，则该角的余弦值为 .

五、各类截面

正方体是立体几何中的重要模型之一，既是中心对称又是轴对称图形.因正方体有六个面，因此用一个平面α去截正方体，纵使α与正方体所有面均相交，至多六条交线，因此不可能出现七边以上的凸多边形.据此可知用一个平面截正方体，其截面只可能为三角形、四边形、五边形及六边形.为了便于说明问题，本文均以单位正方体ABCDA1B1C1D1为例.

（一）截面为三角形

在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，A1A上各取一点E，F，G，连接EF，FG，GE，即可得到截面三角形EFG.设A1E=m，

（1）若m，n，p互不相等，如图1所示，由余弦定理得∠EFG，∠FGE与∠GEF均为锐角，说明截面△EFG为锐角三角形，不可能为直角三角形，也不可能为钝角三角形.

（2）若m，n，p有且仅有两个相等，如图1所示，不妨设m=n，则FG=GE，则截面△EFG是以EF为底边的等腰三角形.

（3）若m，n，p均相等，如图1所示，则EF=FG=GE，故△EFG为正三角形.

特别地，当m=n=p=1，即E，F，G分别与B1，D1，A重合时，如图2所示，此时△EFG面积是截面为三角形所能达到的最大值，且为，这正是例题中选项D.由此看来，命题专家设置选项D有理有据，并非空穴来风.

图1

图2

综上所述，得到以下结论.

结论1：若一个平面截正方体，所得截面为三角形时，其截面只能为锐角三角形（含正三角形、等腰三角形），不可能为直角三角形，也不可能为钝角三角形.

（二）截面为四边形

（1）正方形：只要平面α与正方体任一面平行，此时平面α截正方体所得截面就是正方形，如图3所示.

（2）矩形：只要平面α过正方体的一条棱且不与正方体的面重合，或者平面α与一条棱平行，所得截面就是矩形，如图4、图5及图6所示.

图3

图4

图5

图6

（3）菱形：如图7所示（只要E，F为中点即可）.

（4）非矩形的平行四边形：如图8所示.

（5）梯形：如图9所示（只要平面α与平面ABCD斜交，且C1G≠C1F）.

图7

图8

图9

图10

值得注意的是：不可能为直角梯形.对于图9，采用反证法：若为直角梯形，不妨设∠HGF为直角，则HG ⊥ GF，HG ⊥B1C1，依据线面垂直的判定定理可知HG与平面A1B1C1D1垂直，这与斜交相矛盾.

（6）等腰梯形：如图9（只要C1G=C1F）、如图10所示.

综上所述，得到以下结论.

结论2：若一个平面截正方体，所得截面为四边形时，其截面可能正方形、菱形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形（含等腰梯形），但不可能为直角梯形.

（三）截面为五边形

必须指出的是：无论对于图11，还是对于图12，不可能为正五边形.以图11为例，若为正五边形，由对称性，则需要保证AE=EF=FG，利用勾股弦定理容易得到矛盾.

结论3：若一个平面截正方体，所得截面为五边形时，其截面不可能为正五边形.

图11

图12

（四）截面为六边形

结论4：若一个平面截正方体，所得截面为六边形时，其截面可能六边形、正六边形（只要取棱的中点），如图13所示.

根据上述详细剖析，我们得到例1的答案为①②⑥.

图13

六、规范解答

我们知道正方体有12条棱，要使12条直线与平面α所成角均相等，是一件困难的事情，但注意到正方体中有些棱所在直线相互平行，因此只要保证3条直线（即共同一顶点的三条直线）与平面α所成角相等即可.这正是例2所要研究的问题，如图2所示，显然此时三棱锥A1-AB1D1为正三棱锥，不难求得该角的正弦值为.正是基于三棱锥A1-AB1D1为正三棱锥，因此截面AB1D1与正方体6个面所成锐二面角相等，截面AB1D1正是上述案例4所要寻找的截面中的一个，不难求得该角的余弦值为

正是图2中的截面AB1D1与12条棱所成的角均相等，因此我们只要平行移动平面AB1D1，得到的任何截面都与12条棱所成的角相等，这正是例题的核心，于是我们只要寻找其中截面面积最大的截面即可.当从图2中的截面平移到图1的截面时，显然截面面积越来越小；当从图2平移到图13时面积越来越大.一旦达到临界面（面积最大）以后，其截面面积又开始逐步变小，因此我们利用图13来研究并得到以下解法.

解法2：依据正方体的对称性，不妨设AI=AJ=B1E=B1F=D1H=D1G=t，则 有，利用相似性易得显然HE=由图14可得截面六边形EFGHIJ是由两个等腰梯形EFGH与HIJE构成，而且可以求出等腰梯形EFGH的高为等腰梯形HIJE的高为据此可得

图14

图15

七、启示教学

（一）研究试题变化

《新课标》除内容、结构调整以外，最大亮点就是以立德树人为根本宗旨，以学科核心素养为主要抓手.作为六大核心素养中的直观想象，高考考查的主要载体就是立体几何.前些年，各省市自主命题试卷，尤其全国卷，涉及复杂的组合体的三视图问题成为必考试题，甚至有逐年加大难度的趋势.2018年高考，无论是全国卷I、III，还是相关省市自主命题卷，无论是文科还是理科，明显降低难度.比如，全国卷I（理7、文9）考查圆柱三视图；全国卷III（理3、文3）本质就是长方体三视图；北京卷（理5、文6）、浙江卷（第3题）均为考查底面为直角梯形的四棱锥三视图.有些试卷甚至根本就没有考查三视图，比如，全国卷II、天津卷、江苏卷等.2018年高考凸显的这些变化足以说明三视图明显在弱化，并为最终在2021年高考中进一步降低难度甚至取消三视图考查做好铺垫.作为六大核心素养中的直观想象该如何体现与考查呢？命题专家通过解答题中的空间图形翻折或旋转来实现这一目标.比如，2018年高考全国卷I（理18）就是正方形翻折，全国卷I（文18）就是平行四边形翻折，全国卷III（理19、文19）就是从正方体一边为直径的半圆的翻折，等等.

（二）摒弃冷战思维

长期“冷战思维”导致一线教师普遍认为全国卷就是难，压轴题就该难倒尽量多的考生，于是教学中、考试中人为地加大、加深难度，似乎不难倒所有考生就不是好题，就不能显示命题水平，甚至个别试题全军覆没，最终结果是学生苦不堪言，教师身心俱疲.仔细研读教材，正方体（长方体的特殊情况）是立体几何最为重要的载体，是立体几何教学的出发点、命题的归宿处.事实上，教材多处强调正方体截面问题，这就要求一线教师重视教材、回归课本、夯实基础、吃透课标、不忘初心，这才是取胜高考的法宝，这才是数学教育的根本.

（三）精准把握动向

俗话说得好：“伤其十指不如断其一指.”研究高考试题，应该知其然，更知其所以然.高考试题是命题专家精心设计、仔细推敲、反复打磨的结晶，凝聚专家集体智慧，因而高考试题具有权威性、辐射性、典型性、功能性及导向性，需要教师结合学生实际情况，深思熟虑，将一些经典试题的内在规律、本质特征呈现在学生面前，正如波利亚指出：“一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”可以说例题正是上述波利亚名言的最佳诠释 .