数学课堂教学的“技、艺、道”*

□朱恒元

（浙江省义乌中学，浙江义乌 322000）

《庄子·养生主》中写道：“庖丁为文惠君解牛，手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然响然，奏刀騞然，莫不中音.”庖丁回答文惠君说：“臣之所好者，道也；进乎技矣.方今之时，臣以神遇而不以目视，官知目而神欲行.”“庖丁解牛”寓言故事告诉我们，经过反复实践，掌握事物的客观规律，做事就得心应手，应对自如.庖丁解牛的“技、艺、道”，引发我们对数学课堂教学的新思考.本文以人教A版必修4第一章三角函数“1.5函数y=Asin（ωx+ φ）的图象”教学为例，谈谈这方面的教学实践与认识.

一、“技”是数学课堂教学之基

如果说数学课堂教学要有大境界的话，那么“技”就是第一重境界.技术、技能、技法，是数学课堂教学的立脚点和出发点.有道是“知己知彼，百战不殆”，这个“彼”，就包括除所教课本之外的其他文本.把“冰冷”的知识“火热”起来，让学生愿学、乐学、善学，就要充分利用现代教学工具和手段.面对多种实施途径，要分析优劣，权衡利弊，正确选择出最佳教学方案.

（一）熟练技能

课堂教学的前奏是教学设计.我们除了要钻研所使用的教科书、教学指导用书外，还应翻阅自己当年的备课笔记和教学反思，查阅相关的学习资料.查阅文献是一种不可或缺的技能，是课堂教学设计的基础.

就“函数y=Asin（ωx+ φ）的图象”教学，笔者对人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版、鄂教版等6种版本课程标准实验教科书和沪教版高级中学课本作横向式比较研究，在知识呈现方式和结论归纳过程等两个方面进行对比分析，从中得到了教学启示，明晰设计思路.

“交换、比较、反复”，陈云同志的这六字箴言阐述了实事求是的方法论，饱含着辩证唯物主义的思想，对我们的教学实践具有重要的指导意义.以人教A版为“参照物”，可以发现它跟其他版本教科书（课本）在内容处理上存在一些差异.因此，我们要在分析“比较”间达成教学目标共识，在推敲“反复”下构筑过程设计脉络，在合理“交换”中提升课堂教学效能.

（二）应用技术

本节课的一个教学目标是理解如何由函数y=sinx的图象经过各种变换得到函数y=Asin（ωx+ φ）图象，掌握其中的变换规律，会求变换过程中各阶段相应的函数解析式.要达成预设目标“理解、掌握、会”，就需要在做出各种变换的“分解”图象后，利用几何画板或Excel软件，把图象“慢镜头”动态化，依次揭示变换规律.为了充分发挥现代信息技术的作用，提高课堂教学的时效性，我们可借鉴人教A版、苏教版、鄂教版教科书，在作“分解”图象时就直接使用计算器或计算机.

（三）掌握技法

在函数y=Asin（ωx+ φ）中，有A、ω、φ三个制约参数，理论上由函数y=sinx的图象可以经过6种不同顺序变换得到它的图象.人教B版、北师大版、湘教版教科书先后按A、φ、ω顺序探索变换，而苏教版教科书按φ、A、ω顺序、鄂教版教科书和沪教版课本按A、ω、φ顺序分析研究.考虑到学生学习必修1时对函数的图象变换已有初步接触，从知识衔接角度看，人教A版教科书按φ、ω、A顺序进行探讨不无道理.

事实上，在函数y=Asin（ωx+ φ）中，参数A对图象变换的影响是相对独立的，所以常常最后加以考虑.既然这样，我们就可以采用“焦点访谈”式教学，集中研究两种不同顺序的图象变换，即“先伸缩后平移”或者“先平移后伸缩”.

二、“艺”是数学课堂教学之韵

“艺”是数学课堂教学的第二重境界.人文与艺术，进入数学课堂，给人以妙不可言、美不胜收的感受.数学的理性思维活灵活现，数学的以美启真熠熠生辉.我们的课堂教学不仅要探寻数学问题的“真”，还要充分展示解题过程的“善”，着力表现课堂教学的“美”.缺了“善”，学生思维密度低，提不起精神，过早出现“高原反应”；少了“美”，学生学习兴趣弱，感到学习就是做题，容易产生“视觉疲劳”.

（一）提高精度

7种不同版本教科书和课本都以利用“五点法”作图作为知识的呈现方式，由此可见本节课的另一个教学目标是掌握利用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）的简图，并能根据函数图象求函数解析式.

利用“五点法”作图的教学，处于重要而独特的地位，具有承上启下的功能.因此，我们既要注重答题的程序性，又要讲究画图的灵活性.

对解题步骤要严格规范：求函数周期→相位换元成X→从中解出x→画4行6列表格→依次填写X、y和x→描点画图.在列表填写过程中，依次填写X、y和x，遵循从易到难、从虚到实的原则，体现实用性.在描点画图过程中，x的值不必一个一个算，只要算出首尾两个值，在x轴描点后再取3个中点即可，这样处理既节省时间，又提高精度，颇具艺术性.诚然，我们的数学课堂教学只有“死去活来”，才能深入浅出.

（二）突破难点

人教A版教科书突出按φ、ω、A顺序进行图象变换，这对把握重点是必要的，但对按ω、φ、A顺序进行的图象变换似乎有些轻描淡写.事实上，这两种图象变换所处地位独特，从考查能力角度看后者显得尤为重要.

把函数y=sinx的图象分别按φ、ω、A顺序、按ω、φ、A顺序进行图象变换都可以得到函数y=Asin（ωx+φ）的图象，为什么变换结果具有等效性？这固然是个教学难点.突破难点的技艺是动静结合，双管齐下.利用几何画板或Excel软件，对两种不同图象变换进行模拟动态化，让学生领会“伸缩”“平移”的要义；借助“五点法”作图，紧抓“第一个点”，让学生拥有思考和处理“先伸缩后平移”还是“先平移后伸缩”问题的脚手架.

（三）加深理解

联想与类比，不仅是解题方法，也是教学艺术.我们常常采用比喻手法，帮助学生理解巩固知识，使课堂教学更充满生机和富有成效.笔者曾经听到过一位青年教师用学校滑动大拉门的开闭运动比喻先φ后ω的图象变换情况，殊不知学校滑动大拉门往往只是一端在使用，这样没有办法描述另一部分图象的伸缩态势，而且学校滑动大拉门只一端开闭的运动无法科学表述伸缩的匀称性.倒还不如用“拉力健身器”来比喻恰当些（以初始状态视为原点、左右“开弓”）.

三、“道”是数学课堂教学之魂

“道”是数学课堂教学的第三重境界.核心概念、数学本质、实际应用，乃是数学的精髓.感悟思想、完善素养、学以致用，这些都是一堂好课的标准.课堂教学能够风生水起、左右逢源，达到孔子所言“随心所欲，不愈矩”的教学品位，靠的是不断攀登、长期积淀.我们在课堂上要努力追求“三顺”：顺水推舟，让知识形成的过程更自然些；顺手牵羊，让数学本质的揭示更生动些；顺藤摸瓜，让思维提升的渠道更宽广些.

（一）联系实际

本节课的引题实例，人教A版、北师大版、苏教版、湘教版、鄂教版教科书均涉及物理学简谐运动中的单摆，以及交流电、声音等现象，而实际上高一物理教学中学生还没有学习简谐运动等内容.另外，这节课依赖物理实例开题，并没有像通过物理学中的“功”引入“平面向量的数量积”概念那么亲切、自然和必要！人教B版教科书和沪教版课本采用摩天轮作为载体引入课题，配有背景图片，充满生活气息，得出函数关系式y=Rsin（ωx+φ），也是恰到好处.更重要的是，采用摩天轮实例引题与下一节“应用举例”前后呼应、珠联壁合.不言而喻，这样的教学安排符合“理论源于实际、又指导实践”的辩证唯物主义的哲学思想.

（二）揭示本质

由函数y=sinx的图象经过变换得到函数y=Asin（ωx+φ）的图象，我们通常只强调依次按φ、ω、A顺序和按ω、φ、A顺序这两种变换路径.我们不禁要问：从函数y=sinx到函数y=Asin（ωx+ φ），由函数y=sinx的图象得到函数y=Asin（ωx+ φ）的图象，从数到形，由此及彼，它们联系的纽带是什么？图象变换的本质是什么？对这些实质性问题的思考，有助于宏观把握教学目标、合理设计教学环节.

对于函数而言，在定义域内的每一个自变量x，都对应唯一的函数值y，且点（x,y）在函数图象上.正如以下4种情况分析，在图象C变换到图象D过程中，图象C上点P运动到图象D上点Q.由此可见，图象上的点是图象变换的联系桥梁，点的运动变化是图象变换的本质所在.这里蕴涵着整体和个别之间的辩证关系，富含有深刻的哲理.比如：

（三）完善结构

在必修1“函数的图象与性质”教学中，我们一般都会从实例中归纳出函数的图象变换规律.比如，当m＞0且m≠1，k＞0且k≠1时，

本节课既印证了一般性结论的普适性，又在实例的基础上变换规律得到升华，这种螺旋式上升的结构教学，完善了知识结构体系，符合学生的认知规律.与此同时，我们还不难发现，人教A版教科书按φ、ω、A顺序进行图象变换教学，正是基于学生在必修1中已初步接触学习函数图象变换的考虑.