案例教学法在线性代数教学中的应用

刘俊菊 王健

摘 要 文章分析了当前线性代数教学中存在的问题，结合教学实践提出了案例教学法在线性代数教学中的应用方式，列举了几个典型的与线性代数教学内容相关的案例。通过案例分析可帮助学生掌握相关知识点，并可激发学生的学习主动性。

关键词 线性代数 案例 矩阵 特征向量

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.09.048

Abstract This paper analyzes existing problems in the teaching linear algebra， puts forward the application of the case method in linear algebra teaching， combing teaching practice， and lists several typical cases related to linear algebra teaching. The case analysis can help students master the relevant knowledge， and contribute to students' learning initiatives.

Keywords Linear Algebra， case， matrix， feature vector

0 引言

線性代数是大学数学中一门重要的基础课程，主要研究多个离散变量之间的线性变化关系，在计算机科学、遗传学、密码学、物理学中都有很重要的应用。开设这门课的目的是使学生掌握并运用线性代数相关知识解决专业领域的问题，提高学生的空间想象、逻辑思维、抽象思维能力。

然而，这门课在具体授课过程也往往面临一些问题，主要表现为：首先，内容抽象、单调，学生不容易接受，即便接受了也是被动接受，知道为什么、是什么，但是不知道可以用它做什么；其次，现有的教材中多是理论结合具体运算的例题，没有结合生活中的具体实例，学生看不见应用的实际效果，不接地气，学生学习积极性不高。笔者针对上述问题，在教学过程中注重挖掘知识点背后的应用，引入案例教学法，把一些学生日常生活中面临的实际问题引入课堂教学，既提高了学生的学习积极性，又增强了学生把具体问题抽象成数学问题的能力。

案例，是实践活动中发生的带有普遍性和代表性的典型事例，是在真实的情境中发生的典型事件，通过对这些典型事例的分析，可以提出解决问题的办法和思路。

案例教学是一种特殊的教学手段，通常是指在教师的指导下，根据教学目的要求，组织学生针对案例进行阅读、思考、分析、讨论和交流等活动，旨在培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，帮助学生加深对基本原理和概念的理解。

案例教学中最为突出的特征是对案例的灵活运用，这是案例教学区别于其它方法的关键所在。本文将着重阐述和分析三个在教师引导下、学生可以自行解决的和线性代数相关的典型案例。

1 案例分析

案例一：交通路线问题

在中第行第列元素表示的是从到长度为2的路的总数，在这里，我们把从到经过的边的个数称为到的长度。例如，在中=2，表示从到有两条长度为2的路，从图上也可以验证这一点。同理，在和中的第行第列元素分别表示从到长度为3和4的路的总数。

显然，用矩阵的乘法分析线路问题比直观的更准确、方便，而且可以方便的通过计算机编程来处理更加复杂的路况信息。

此外，我们做矩阵，很容易理解，中的第行第列元素表示的是从到的长度小于等于4的路的总数。

案例二：信息加密应用

在信息的传送中，需要对所传信息进行加密处理，我们先把A到Z共26个字母分别用1到26代替，空格用0代替，这样，当我们要传送信息就可以只传送字母对应的数字，比如我们要传送good luck，一共8个字母加一个空格，把其转换成数字就是7，15，15，4，0，12，21，3，11。把这9个字符编译成一个3阶方阵，矩阵B就是明文矩阵，为了增加破译的难度，我们利用逆矩阵的知识，还要找一个可逆的3阶方阵A对其加密，例如选取

为解密矩阵， 其逆矩阵为。

我们取矩阵C=AB，即

我们只要把矩阵C对应的字符串66，24，36，94，42，62，83，27，35发出去，接收方利用解密矩阵A就可以获得明文B矩阵。

即发送信息为good luck。事实上，这只是利用矩阵加密的简单例子，具体的加密过程往往会更加复杂，我们还可以引导学生思考如何进一步把加密等级提高。

案例三：人口迁移问题

假定某省固定人口总数不变，每年有20%的人口从二线城市迁往一线城市，有10%的人口从一线迁往二线城市，请问，若干年后该省的一线二线人口比例是否会趋于稳定。

假设现有二线、一线人口数为，我们有

由此可见，该省的二线和一线城市人口终将趋于稳定状态。

在本例中，我们利用矩阵的特征值与特征向量的相关性质解决人口迁移的相关问题，特征值与特征向量还可以帮助解决智能推荐、循环比赛、基因遗传等问题，在授课过程中可根据学生的专业适当选取。

2 小结

在线性代数中适当的引入案例教学，有利于学生综合解决问题能力的提升，在具体的教学中，要注意循序渐进，根据学生的基础及学习状态选择合适的案例，确保难度适中，太难或太易都不利于激发学生的学习积极性。因此，如何更有效地使用案例教学法促进线性代数的教学，还需要教师在具体的教学环境中积极探索。

参考文献

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