利用洛必达法则来处理高中数学中的恒成立问题

木沙江·吐尔逊��

摘 要：文章通过洛必达法则分析函数的最大，最小值指出一种解决高中数学常见的恒成立问题

关键词：洛必达法则；恒成立；微分

近几年，随着新课标在全国的范围内的实施，无论高考题，还是各个区高考模拟，还是什么月考测试都在悄悄发生变化。尤其是有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。虽然高考考试没有要求学生掌握，但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，洛必达法则……特别是利用洛必达法则来处理解答题中的函数与导数题，即高中数学中的恒成立问题的观点尤其突出。恒成立问题是高中数学中的常见问题，在培养同学们的灵活性，创造性等方面起到了积极的作用，也是历年高考题中的一个热点，大多是在不等式中以已知自变量x的取值范围，求另一个参数的取值范围的形式出现。

例如2010年和2011年，2016年（文科）高考中的全国新课标卷中的第21题中的第2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，用初等方法处理，分析难度大，变化技巧高。但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。

一、 洛必达法则

法则1 若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limx→afx=0 及limx→agx=0；

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g′（x）≠0；

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

法则2 若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limx→afx=∞及limx→agx=∞；

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g′（x）≠0

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

二、 高考题处理

1. （2016年全国新课标Ⅱ文科）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），（a∈R）

（1）当a=4时求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若当x∈（1，+∞）时f（x）>0，求a的取值范围；

原解：（1）当a=4时f（x）=（x+1）lnx-4x+4，（a∈R），

f′（x）=lnx+1+1x-4，f′（1）=-2，f（1）=0，

∴切线方程为y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0

（2）：f（x）>0等价于：（x+1）lnx>a（x-1）；∵x∈（1，+∞）x-1>0

等价于（x+1）lnxx-1>a对x∈（1，+∞）恒成立，等价于即令g（x）=（x+1）lnxx-1的最小值也应该大于a，根据g（x）的单调性可以解出它的最小值，

则g′（x）=（x-1）lnx+1+1x-（x+1）lnx（x-1）2=-2lnx+x-1x（x-1）2，

这时我们需要-2lnx+x-1x和0的大小关系，令M（x）=-2lnx+x-1x

则M′（x）=-2x+1x2+1=（x-1）2x2>0即M（x）函数在1，+∞上单调递增，

∴M（x）>M（1）=0，∴g′（x）>0即区间1，+∞上g（x）也是单调递增，

可以说区间1，+∞上g（x）>g（1）≥a

根据洛必达法则limx→1g（x）=limx→1（x+1）lnxx-1=limx→1（x+1）lnx′（x-1）′

=limx→1lnx+1+1x1=2，故a≤2，综上，知a的取值范围为-∞，2。

2. （2010年全国新课标理）设函数f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围

原解：（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

当x∈（-∞，0）时，f′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加

（2）当x=0时，f（x）=0，对任意实数a，均在f（x）≥0；

当x>0时，f（x）≥0等价于a≤ex-x-1x2

令gx=ex-x-1x2，（x>0）则g′（x）=xex-2ex+x+2x3，令hx=xex-2ex+x+2x>0，則h′x=xex-ex+1，h″x=xex>0，

知h′x在0，+∞上为增函数，h′x>h′0=0；知hx在0，+∞上为增函数，hx>h0=0；∴g′x>0，gx在0，+∞上为增函数。

由洛必达法则知，limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12，

故a≤12，综上，知a的取值范围为-∞，12。

3.（2011年全国新课标理）已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2在点f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2处的切线方程为f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2。

（Ⅰ）求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2、f′（x）=a（x+1x-lnx）（x+1）2-bx2的值；

（Ⅱ）如果当f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，且f′（x）=ax+1x-lnx）（x+1）2-bx2时，f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2的取值范围。

解：（Ⅰ）f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2

由于直线b=1，a2-b=1的斜率为b=1，a2-b=1，且过点b=1，a2-b=1，故b=1，a2-b=1即

b=1，a2-b=1解得x>0，x≠1，x>0，x≠1。

（Ⅱ）由题设可得，当x>0，x≠1时，k<2xlnx1-x2+1恒成立。

令g（x）=2xlnx1-x2+1（x>0，x≠1），则g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22，

再令hx=x2+1lnx-x2+1（x>0，x≠1），则h′x=2xlnx+1x-x，h″x=2lnx+1-1x2，易知hx=2x+2xx4=2x+2x3>0故h″x在0，+∞上为增函数，且h″1=0；故当h″x<0时，h″x<0，当x∈1，+∞时，h″x>0；

∴h′x在0，1上为减函数，在1，+∞上为增函数；故h′x>h′1=0

∴hx在0，+∞上为增函数，∵h1=0

∴当hx<0时，hx<0，当x∈1，+∞时，hx>0

∴当g′x<0时，g′x<0，当x∈1，+∞时，g′x>0

∴gx在0，1上為减函数，在1，+∞上为增函数

∵由洛必达法则知limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0

故k≤0，即k的取值范围为-∞，0

规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，虽然有些题中的求分离出来的函数式的最值可以一次求导数就会求出拐点，既可以求出由函数的单调性来求最值的，但是有些题中的求分离出来的函数式的最值不能一次求导数就可以判断函数的单调性或者导数等于0的拐点，这时通过继续求导（至可以判断单调性和最值），然后通过最后最简单导函数的最值来判断它原函数的单调性，就这么返回，最后判断跟所求的参数分离出来的函数的单调性，利用单调性求使不等式满足的最值，如果最值点函数无意义的话就利用洛必达法则可以较好地处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。

参考文献：

[1]吴良森，程其蘘，庞学诚.数学分析教程[M].高等教育出版社，2004.

作者简介：

木沙江·吐尔逊，中学二级教师，新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州，阿图什市第一中学。