基于特征基函数法的一维理想导体粗糙海面电磁散射快速算法研究

王晶晶 王安琪 蒋铁珍 黄志祥

(安徽大学 计算智能与信号处理重点实验室,合肥 230039)

引 言

粗糙海面电磁散射特性的研究在现代雷达探测、海洋探测、目标隐身等领域有着广泛的应用[1-3]. 近年来有关该问题的研究受到国内外诸多学者的关注,如有限元积分方法在海面电磁散射中的应用[4],双尺度法在海面电磁散射中的应用[5]等. 而矩量法[6](method of moments, MoM)因其自动满足辐射条件、无需额外设置边界条件、计算精度高等优点被广泛应用于粗糙海面电磁散射的数值仿真中[7-11]. 然而MoM中的矩阵通常是一个满阵,当求解具有较多未知量的矩阵方程时存在对计算机内存需求过大、计算耗时的缺点. 尤其是当利用MoM仿真模拟大角度入射下粗糙海面的电磁散射问题时,必须模拟足够长的粗糙海面[12]才能保证计算结果的精确性,这必会引入大量的未知量,对计算机内存的需求过大. 因而寻找一种精确快速计算粗糙海面电磁散射的数值方法就非常必要了.

为克服因计算量大而导致的计算机内存负担过重的缺陷,前人在传统MoM的基础上做了一些改进,相继提出了一些高效的算法,如快速多极子法[13]、预修正多层快速多极子算法[14]等,然而这些方法是采用一定程度的近似从矩阵方程生成的角度或者结合预处理技术加快迭代收敛过程对MoM方法进行改进,存在迭代收敛的缺陷,导致高海情粗糙海面电磁散射数值仿真时存在迭代步数过多、计算时间过长的困境.

本文应用的特征基函数法(characteristic basis function method, CBFM)最初是由Mittra和Prakash提出的[15],基于子域的概念,根据Foldy-Lax多径散射方程[16]构造特征基函数,通过离散子域尺寸的选取控制实际操作矩阵的维数. 它可以在保证计算精度的前提下,有效地缩短计算时间,同时降低对计算机内存的需求.

1 粗糙海面电磁散射的MoM研究

图1为一维理想导体(perfectly electric conductor, PEC)粗糙海面电磁散射的几何示意图,其中粗糙海面是PM(Pierson-Moskowitz)谱海面[17],高度函数为z=f(x). 模拟粗糙海面的长度为L,海面风速为U. 本文中所采用的时谐因子是e-iωt,位置矢量为r=xx+zz. 当入射电磁波是水平(Horizontal, H)极化方式时,其电场积分方程(electric field integral equation, EFIE)为[16]

(1)

当入射电磁波是垂直(Vertical, V)极化方式时,粗糙海面的磁场积分方程(magnetic field integral equation, MFIE)为[16]

(2)

式(1)、(2)中:

(3)

(4)

f′(x′)是高度起伏函数f(x′)的一阶导数.

图1 一维理想导体粗糙海面电磁散射的几何示意图Fig.1 Geometric model for EM scattering from the 1D PEC rough sea surface

为避免因模拟粗糙海面尺寸的有限造成的截断效应,本文采用锥形波作为入射波,即[12]

φi(r)= exp(ik(xsinθi-zcosθi)(1+w(r)))

(5)

式中:k是入射波的波数;θi表示入射角;g是锥形波因子;w(r)=[2(x+ztanθi)2/g2-1]/(kgcosθi)2.

在MoM中,分别选取分域脉冲基函数和点匹配技术离散式(1)和式(2)的积分方程. 当H极化入射时对EFIE离散,得到相应的矩阵方程为[16]

A·U=b.

(6)

同样可以得到V极化波入射下,MFIE离散后的矩阵方程为[16]

B·I=V.

(7)

式(6)与式(7)的具体形式可参考文献[16].

2 CBFM的数学原理

通过分析,可将式(6)和式(7)转化为同一类矩阵方程,形如

Z·J=V.

(8)

式中:Z是N×N的阻抗矩阵;V是N×1的激励向量;J是N×1的未知向量;N是未知量的个数. 由于阻抗矩阵Z通常是满阵,当处理大角度入射下理想导体粗糙海面电磁散射问题时[12],必须模拟足够长的粗糙海面才能保证计算结果的有效性,这必会导致较多未知量的产生,会遇到所需计算机内存过大、计算时间过长的问题. 而CBFM很好地解决了这一问题. 下面介绍CBFM的数学原理.

首先将N个离散点的粗糙海面划分为M个子域或块,每个子域包含的离散点数是Ni(i=1,2,…,M),且满足N1+N2+…+NM=N,则式(8)可变为如下形式[18]:

(9)

式中:Zij(i=1,2,…,M;j=1,2,…,M)是Ni×Nj的矩阵;Ji表示需要求解的未知量;Vi表示粗糙海面受到的与入射电磁波相关的激励向量. 本文的特征基函数(characteristic basis functions, CBFs)是根据Foldy-Lax多径散射方程[16]构造的,包括主要特征基函数(primary characteristic basis functions, PCBFs)和次要特征基函数(secondary characteristic basis functions, SCBFs). 构造CBFs时,先不考虑子域与子域之间的互耦效应,只考虑每个子域的自相互作用构造PCBFs,再将除了该子域外的所有PCBFs对该子域产生的散射场之和作为此子域第一阶SCBFs的激励源,这样依次进行高阶SCBFs运算,最后由PCBFs和SCBFs的加权叠加构造CBFs. 构造CBFs的详细过程如下:

1) PCBFsJP

对于第i个子域(i=1,2,…,M),其PCBFs满足

(10)

2) SCBFsJS1,JS2,…

用来求解子域i的第n阶SCBFsJSn的激励可由除该子域i外所有其他子域上的前一阶的SCBFs对其产生的散射场得到,即JSn满足

(11)

3) CBFsJt

(12)

(13)

即

(14)

(15)

对式(15)的系数矩阵进行LU分解后求逆可获得叠加系数ai、bi、ci(i=1,2,…,M),将其代入到式(12)中,可以求得待求表面未知量Jt.

本文中定义CBFM的计算误差为[19]

(16)

式中,‖·‖2表示矩阵的二范数.

3 数值计算与结果分析

3.1 算法有效性的验证

为验证所提算法的有效性,本文将针对一维理想导体粗糙海面电磁散射的仿真计算分别采用文中所提的算法(CBFM)、基于LU分解技术的MoM (MoM-LU)、基于共轭梯度法的MoM (MoM-CGM),以及快速多极子方法(fast multiple method, FMM). 图2给出了H极化波和V极化波入射下四种方法的散射系数对比,表1给出了分别采用上述四种方法的计算时间. 粗糙海面模型的参数选择如下:海面是PM谱海面,风速分别为U=5 m/s(图2)和U=10 m/s(图3),入射角分别为θi=45°(图2)和θi=60°(图3),模拟海面长度L=81.92 m,采样间隔Δx=0.1λ,入射波频率选择f=1.5 GHz,即可得采用传统MoM时的未知量个数N=4 096,CBFM算法中选择了4阶SCBFs和8个离散子域. 算例执行的软、硬件条件为Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU @ 3.41 GHz,内存4.00 GB,操作系统Microsoft Windows 10,软件环境Intel Visual Fortran 14.0,时间为总的CPU时间. 从图2可以明显地看出,本文所提算法CBFM的计算结果与另外三种方法吻合的是比较好的,说明了文中所提算法的精确性．

(a) H极化(a) H polarization

(b) V极化(b) V polarization图2 H和V极化入射时散射系数对比Fig.2 The scattering coefficient obtained by different method under the H polarization and V polarization

表1 不同计算方法的CPU时间Tab.1 The CPU time of different methods

从表1可以看出本文所提算法明显地减少了MoM的计算时间,尤其是采用迭代方法的MoM. 在此需要指出的是本文所提的算法慢于FMM,这是因为在FMM中引入了加法原理,但FMM将MoM中的稠密矩阵处理为了几个对角矩阵,且这一处理过程的数学公式较为复杂,仿真实现比较困难. 而文中所提算法是直接对MoM中的稠密矩阵进行分块处理,并结合具体的物理机理(Foldy-Lax多径散射方程),数学公式简单明了,仿真实现也是比较方便的. 另外,FMM是基于迭代法实现的,受到矩阵方程性态的影响,对于低掠角入射时(入射角θi>85°)的电大尺度粗糙海面电磁散射仿真时发现串行FMM是无法使用的. 而文中所提的算法CBFM对于电大尺度问题可以通过离散子域的选择控制实际LU分解的矩阵维数,从而保证了单机操作的可行性.

接下来,为进一步说明CBFM的有效性,本文将从SCBFs的阶数和离散子域的个数两个角度展开讨论,对比分别采用MoM和CBFM两种方法的直接求解逆矩阵的维数、百分比误差和CPU时间,同时,探讨大角度入射下CBFM的有效性．以下数值计算中,图1中粗糙海面模型的参数选择如下:海面是PM谱海面,风速U=5 m/s,入射角θi=30°(大角度入射除外),模拟海面长度L=81.92 m,采样间隔Δx=0.1λ,入射波频率选择f=1.5 GHz,即可得采用传统MoM时的未知量个数N=4 096,直接逆矩阵求解的维数是4 096×4 096. 采用MoM计算时,在H极化方式下所用的CPU时间为15.813 s,在V极化方式下所用的CPU时间为15.406 s.

3.2 不同SCBFs的阶数

将整个粗糙海面均分成4个子域,即每个子域的剖分点数是Ni=1 024,则采用CBFM时矩阵求解的维数是1 024×1 024. SCBFs分别取为2阶、3阶、4阶、5阶,表2给出了不同极化方式下,SCBFs取不同阶数时,分别采用CBFM与MoM时的计算时间和百分比误差对比. 从表中可以很明显地看出当SCBFs的阶数越高时,CBFM的百分比误差越小,即是说SCBFs的阶数越高时,CBFM与传统MoM的计算结果吻合得越好,这是因为阶数越高时各离散子域之间的互作用被考虑的越充分. 然而从表2中还可看出,阶数越高时,计算时间越长. 综合考虑计算时间和百分比误差,作者认为当SCBFs取为4阶时,仿真结果和仿真效率是最好的.

表2 SCBFs取不同阶数时的CPU时间与百分比误差Tab.2 The CPU time and the percentage error of SCBFs with different orders of SCBFs

3.3 不同离散子域个数

表3中列出了将整个粗糙海面分成不同个数离散子域时,对应的CPU时间及百分比误差的比较.从表3中可以看出,当SCBFs的阶数固定,离散子域不同时,划分的子域越多,百分比误差越大,这是因为SCBFs计算时忽略了相邻子域之间的相对较强的互作用. 同时从表中可以看出,划分的子域越多,相应的计算时间会少点,这是因为划分子域越多时,各离散子域自作用矩阵的逆矩阵求解的维数越小,LU技术求解时间会减小,但同时SCBFs的互作用项叠加时间增长. 对比表3中的数据可以发现,离散64个子域和离散32个子域在CPU时间上的减少有限,但百分比误差却大大增加了,因此综合考虑计算时间和百分比误差,作者认为该算例中粗糙海面划分为8个子域时,仿真结果和仿真效率是最理想的.

表3 粗糙海面划分不同子域时的CPU时间与百分比误差Tab.3 The CPU time and percentage error with different cells

3.4 大角度入射下的有效性分析

从前面的讨论中可以得出,将粗糙海面分成8个子域,SCBFs取4阶时,仿真结果和仿真效率较好. 现在取入射角θi=80°,其他计算条件保持不变情况下,获得的不同极化方式下的散射系数如图3所示,所得的表面未知量如图4所示. 表4给出了不同极化方式下,CBFM所用的CPU时间及百分比误差的对比. 从图中可以看出CBFM获得的散射系数和表面未知量与MoM的仿真结果吻合得比较好,但从表4中可以看出此时的百分比误差却不是很理想的,尤其是HH极化情况下的百分比误差. 在接下来的研究中,我们将继续分析大角度入射情况下SCBFs的阶数和离散子域的个数对计算精度和计算效率的影响.

(a) H极化(a) H polarization

(b) V极化(b) V polarization图3 大角度入射下采用H和V极化方式时CBFM与MoM的散射系数对比Fig.3 The scattering coefficient obtained by the CBFM and the MoM under the larger angle of incidence under H and V polarization

(a) H极化(a) H polarization

(b) V极化(b) V polarization图4 大角度入射下采用H和V极化方式时CBFM与MoM的表面未知量的对比Fig.4 The surface unknowns obtained by the CBFM and the MoM under the larger angle of incidence with H and V polarization

表4 CBFM所用的CPU时间与百分比误差Tab.4 The CPU time and percentage error

4 结果与讨论

本文引入CBFM快速分析了一维理想导体粗糙海面的电磁散射特性,并在两种极化方式下与传统MoM的计算结果进行了对比,讨论了SCBFs的阶数和离散子域的个数对计算精度和计算效率的影响. 当在相同离散子域的情况下,SCBFs的阶数越高时,CBFM的百分比误差越小,然计算时间越长. 当取同一阶数时,划分的子域越多,百分比误差越高,而且计算时间减少到一定程度后就不是很明显地减少了. 同时,在仿真结果的对比中可以发现H极化的百分比误差比V极化的百分比误差大,这是因为两种极化方式的积分方程不同,相邻离散子域的相互作用对整体散射特性的影响不同．另外,在大角度入射时,可以发现散射系数和表面未知量与MoM仿真结果吻合得比较好,但百分比误差却不是很理想. 在接下来的研究中,我们将继续讨论入射角度、极化方式、SCBFs的阶数和离散子域的个数对计算精度和计算时间的影响,以期获得一个经验结论用于阶数的选择和离散子域个数的选取.