高中函数概念教学研究

摘 要：在高中数学教学中，函数内容占了很大的比重，它是高中數学教学的一个基本概念，渗透在高中数学的各部分中，更是高考的一个重点和热点。因此，学好函数成了高中学生学习数学的热点和难点。函数概念是一个认知根源，是学生理解其他概念的基础，架起了中学不同数学领域桥梁的，是常量数学到变量数学学习的开始，函数与、集合、方程式、不等式、代数式、数列、极限这些数学知识密切相连，函数思想是中学生应该掌握的基本数学思想之一。

关键词：函数概念；数学教学；高中研究

一、 函数的表示方法

函数的表示方法有以下几种：解析式法、图像法、语言描述法和列表法。

（一） 解析式法

这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。解析式法就是用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。

（二） 图像法

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。这种表示函数关系的方法叫做图像法。这种方法的优点是通过函数图像可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图像观察得到的数量关系是近似的。

（三） 语言描述法

使用语言文字来描述函数的关系。

（四） 列表法

用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。

二、 函数的特性

（一） 有界性

函数区别于数学中的其他概念的一个重要方面是：它可以利用语言、符号、表格、图形等多种形式研究设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

（二） 单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数 f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

（三） 奇偶性

设f（x）为一个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则 f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。设f（x）为一实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函数不可能是个双射映射设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有（x±T）∈D。

（四） 周期性

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，则称 f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。周期函数有以下性质：

（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（7）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。

（五） 连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

三、 培养学生数学学习兴趣

数学教学很重要的一个任务就是培养学生学习数学的兴趣，中学教师值得去在这方面做一些研究，因为同学的数学基础不尽相同，学生的心理发展水平也不同，所以，刺激和激发其学习的方式方法也就不一样。教师应该关注以下几点：克服消极心理，开导学习兴趣；创设问题情境，激发学习爱好；增强应用意识，诱发学习兴趣；这些都要靠教师在数学知识，数学思想，数学方法，数学历史中，找到其蕴含的兴趣因素，需要教师的发掘和加工。教师要有特别的方法，让学生对难点没有恐惧感，循循善诱，对症下药，破除硬塞，疏通心路，使学生体会到知识的力量，学生的兴趣才能成功地激发。

总之，高中函数的特点决定了高中学生学习函数的困难，打实基础知识却是一个永恒的教学主题。所以教学虽然有方法，但还是要改善和总结，去适应课程。难点是相对暂时的，由浅到深、由易到难的过程，也是每个学生能力提高的过程。教学中积极调动学生的全部智力因素，充分挖掘其学习潜能，重视课堂教学的启发引导作用，培养学生对函数问题多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用的良好学习习惯，同时培养学生在学习、理解、训练应用中有意识地锻炼自己合理的逻辑推理、抽象思维和分析解决问题的能力，从而克服函数教学的难点，提高函数教学质量。

参考文献：

[1]谢莉.PCK视角下的高中函数概念教学研究[D].江西师范大学，2016.

[2]王茹.高中函数概念有效教学研究[D].陕西师范大学，2016.

[3]惠义.基于概念教与学理论的高中函数概念教学研究[D].四川师范大学，2016.

[4]孙立坤.提升高中数学教师形成性评价教学技能的设计研究[D].华东师范大学，2014.

[5]曹丽娟.基于APOS理论下的高中函数概念教学方式探究[D].陕西师范大学，2012.

作者简介：

何远红，贵州省黔南布依族苗族自治州，贵州省瓮安中学。