滞环非线性系统的自抗扰动态面控制方法*

刘胜荣 孙国法 王 亮

1.青岛理工大学 信息与控制工程学院，青岛 266520 2.北京航天自动控制研究所，北京 100854

在过去几十年中，为了获得滞环的动态特性并实现精确控制，学者们为消除其对控制性能的影响做出了不懈努力。例如，文献[1]解决了一类输入带有类齿隙滞环非线性的动态系统自适应控制问题，其中滞环非线性环节由一个微分方程描述。随后，该方法被扩展为该类系统的自适应模糊控制问题[2]。与此同时，文献[3]研究了一类带有一般化的Prandtl-Ishlinskii滞环输入的纯反馈形式的未知非线性系统的自适应神经网络控制。类似的，文献[4]针对一类存在不确定性摄动并带有未知类齿隙滞环严格反馈系统的控制问题，提出了自适应动态面控制问题。文献[5]对一类前面带有包含滞环的时延非线性系统提出了一种鲁棒自适应神经网络动态面。上述控制方法基于稳定性设计的控制器很难保证系统的瞬态性能。本文提出基于扩张状态观测器的自适应鲁棒控制解决一类带有输入端滞环的纯反馈非线性系统的跟踪问题。

自抗扰控制器(Active Disturbance Rejection Controller，ADRC)[6]是由韩京清和他的团队创立的一种新的实用的非线性控制方法。自抗扰控制和经典PID的不同之处是它不依赖被控对象的精确模型，是一种新型的实用数字控制技术。自抗扰技术算法简单，参数易于调节，提高系统的稳定性。在非线性环节中，自抗扰技术将跟踪微分器、扩张状态观测器和误差反馈组合在一起，发挥它们各自的功能。自抗扰技术的先进性主要体现在它能够对内部扰动和外部干扰进行实时估计，而且，自抗扰技术的反馈采用非线性误差反馈，这样能够提高跟踪的质量。目前，自抗扰控制技术已经在船舶航向控制[7]、飞行器控制[8]、电机控制[9]和机器人控制[10]等领域的一些实际问题中得到了广泛应用。

研究一类含滞环非线性系统的自抗扰动态面控制策略，在保证系统稳定性的前提下，提高闭环系统的控制性能。

1 系统描述与准备条件

首先给出一类带有输入端滞环的非线性系统的自适应控制问题。然后，回顾一些有关扩张状态观测器结构的基本知识以方便后续提出的控制器的设计过程。

考虑如下形式的被控对象数学模型：

(1)

式中，u齿隙类滞环非线性的输出信号，由如下方程描述:

(2)

其中，α，c，B是常数且c>B。

研究动态模型式(2)解的性质来解释切换机制，对于控制器的设计至关重要。解方程式(2)可得u对于v的解为

u(t)=cv(t)+d(v)

(3)

其中

(4)

对于初始值u(v0)=u0。

把式(3)带入式(1)得

(5)

图1 输入信号为v(t)=ksin(2.3t)时的滞环曲线

2 扩张状态观测器设计

(6)

其中，z1和z2是新定义的坐标变量。

将式(5)带入式(6)得：

(7)

将式(7)进行化简得

(8)

其中

(9)

作为自抗扰技术的一个重要环节，扩张状态观测器的主要作用是对系统的内部扰动和外部扰动进行估计，具体算法推导如下。考虑系统形式如下：

(10)

其中,f(x1,x2,t)为未知扰动函数，令x3=f(x1,x2,t),则原式变为

(11)

其中，x3定义为扩张状态。

基于公式变换式(6)，本文设计状态观测器结构为

(12)

其中,β1,β2和β3是增益为可调参数。根据经验，β1,β2和β3取值从小到大，并且依次差一个数量级，非线性函数取为

(13)

其中，e为反馈输入误差，δ>0。在实际的控制工程界，常用到的经验就是：“大误差，小增益；小误差，大增益”，因此，当输入误差信号时，可以通过调节fal(e,α,δ)的参数，使得反馈环节在误差较大时，产生较小的反馈增益；在误差较小时，产生较大的反馈增益。在保持系统稳定性的同时，使系统快速的到达稳定。

3 动态面控制器设计

自抗扰控制器的结构如图2所示。

图2 自抗扰控制结构图

其中，xd为参考信号；v1为过渡过程的状态；v2为提取的微分信号；D(t)为外部扰动。zi，i=1,2,3代表扩张状态观测器的3个状态，也就是内部和外部总扰动的估计。本论文的主要工作是研究控制器部分，下面进行介绍。

如图2所示，自抗扰控制信号选为

(14)

其中，b0表示前向通道放大倍数b的估计值，u0的形式可以设计为多种形式。

如果用经典PID控制，因为u0为e1和e2的函数，具体形式表达为

(15)

其中，反馈误差定义为

(16)

如果采用非线性控制器控制，例如可以采用滑模控制，具体的表达形式为

(17)

由于滑模控制信号式(17)里面包含符号函数，会给系统带来高频颤振。在本文中，我们采用第2种非线性控制动态面(DSC)，控制信号组成结构如图6所示。

图3 动态面控制器示意图

在图3中， 定义如下形式的反馈误差面：

(18)

其中，xd是被跟踪的参考信号；α1是中间虚拟控制信号，具体形式将在下面设计中给出。

上述误差面的动态可以转化为

(19)

通过求取第2个误差面E2对时间的微分，可以得到具体非线性反馈动态面控制信号的表达形式为

(20)

其中，K1，K2为设计常数；ω是鲁棒项，具体形式选为

(21)

其中，dM是误差的上界，将在后续中给出；μ2是有界的，满足不等式

0<|μ2|<μM

(22)

式中，μM是正常数。

4 稳定性分析

考虑如下形式的李雅普诺夫候选泛函：

(23)

对V求导数得

(24)

其中，跟踪误差信号的动态满足：

(25)

(26)

把式(25)和(26)带入式(24)得

(27)

上式中，不难看出如下不等式成立:

(28)

于是，有不等式

(29)

根据参考文献[11]，又有如下不等式成立

(30)

将式(30)带入式(29)得

(31)

对公式(31)左右两端积分可得

因此，闭环系统跟踪误差是有界的，通过合理选取控制信号设计参数，在保证系统稳定性的前提下，能够使得跟踪误差任意小。

5 仿真算例

考虑如下形式的含有输入端滞环的二阶非线性不确定性系统：

(32)

其中，u=H(v)代表输入端滞环非线性环节。

结合式(3)，被控对象式(31)变为

(33)

其中，

α1=γ1cos(ω1t)，α2=γ2cos(ω2t)
b(t)=γ4cos(ω4t)

(34)

式中，

γ1=0.7，γ2=-1，γ4=0.1，ω1=0.5，ω2=0.7，ω4=2

式(31)中

(35)

是输入端滞环特性的非线性环节部分。其中，参数值选为K=10,α=5,B1=0.345,c=3.1635,u(0)=0,v(0)=0。

当在参考信号xd=0.8sin(0.5t+0.1cost)的自抗扰控制中加入滞环特性，取扩张状态观测器的参数依次为β1=10,β2=100,β3=300，对应的仿真图像如图4所示，总扰动信号观测存在较大误差。当增大观测器反馈增益β3的取值时，能够提高扰动信号的观测精度，观测曲线如图5和6所示。

图4 β3=100总扰动信号观测曲线

图5 β3=500总扰动信号观测曲线

图6 当β3=900总扰动信号观测曲线

在跟踪相同的正弦参考信号xd时，如果用PID控制，观察跟踪效果。因为PID的参数比较难调，只能根据曲线变化相应地改动比例和积分参数，通过调节参数值发现，当kp=5,kd=0.007时，效果比较好。经典PID的跟踪效果如图7所示。

图7 PID控制跟踪曲线

由图7可以看出，输出信号曲线的跟踪效果并不理想。系统输出信号y=x1虽然稳定，但是跟踪效果存在很大的误差，而且存在超调，达不到预期满意的效果。

当采用自抗扰技术时，仿真图像如图8所示。由图中曲线可以看出，控制效果明显优于PID控制器。基于扩张状态观测器对扰动信号的实时观测与动态面信号的补偿控制，输出信号以很高的精度跟踪参考轨迹。充分体现了自抗扰控制算法的鲁棒性与快速跟踪性能。同时，从跟踪曲线可以看出，所采用的控制信号并没有出现滑模控制信号的抖振问题。通过对比发现，在控制本文第2节给出的含有输入端滞环非线性环节的不确定非线性系统时，自抗扰控制算法在提高系统的鲁棒性和快速性方面明显优于传统PID控制策略。

图8 动态面控制跟踪曲线

(36)

其中，设计参数通过采用一种根据经验方法取值为kP=30，kI=0.2，kD=0.3来跟踪一个给定的参考信号xd=0.85sin(1.25πt)/(1.25T),T=5s。

对于改进的动态面设计方法，其中参数值选为b0=0.025，c1=10，c2=23，r2=60，自适应参数值选为θ1=θ2=0.5，σ1=σ2=0.025。

6 结论

研究了输入端含滞环的二阶不确定非线性系统的输出反馈控制问题， 提出了一种自抗扰控制算法。首先通过对滞环非线性环节的重新表述和坐标变换，设计了三阶非线性扩张状态观测器。在对状态变换后的系统状态和总扰动信号同时观测的基础上，提出了一种动态面控制律，在提高输出信号跟踪参考信号快速性的同时，避免了滑模控制带来的抖振问题。数值仿真表明，该算法在跟踪性能方面优于传统的PID控制算法。