刚体转动惯量实验的改进

2018-11-01潘葳，王瑗

物理实验 2018年10期

潘葳，王瑗

(上海交通大学物理与天文学院物理国家级实验教学示范中心，上海 200240)

刚体转动惯量是描述刚体转动时惯性大小的量度，是刚体转动学的重要物理量. 常用转动惯量的测试方法有扭摆法[1]、三线摆法[2]和落体法[3]. 相比而言，落体法仪器设备简单便于实现，原理容易理解，适合本科一年级学生的物理实验教学. 恒力矩法是落体法中的常用测试方法，它利用力矩、角加速度和转动惯量之间的联系，通过仅考虑摩擦力矩的减速运动过程以及在阻力矩和砝码产生的恒拉力矩共同作用下的加速过程计算出转动惯量[4]. 虽然在参考了大量文献后，从各种角度出发来减小恒力矩法测量转动惯量的误差[5-11]，但在实际教学工作中发现，效果仍不够理想，测量结果存在较大的误差. 为了进一步完善这种测量方法，减小学生实验结果的误差及不稳定性，还需要在减小滑轮摩擦力上进行一些改进工作. 因此我们在教学内容和教学方法上进行了的改进，使大部分学生实验结果和理论值之间的误差都能控制在5%以内，收到了良好的实验教学效果.

1 恒力矩法测量转动惯量实验原理

刚体做定轴转动时，所受的合外力矩M和角加速度β及转动惯量J满足M=Jβ，测得M及β，就可以得到J[5-11].

如图1所示，恒力矩法测量J时，将质量为m的砝码通过轻质细绳拴在半径为R的塔轮槽上提供拉力矩，带动转盘以角加速度β1进行加速转动，在不考虑滑轮和绳子质量、绳子形变的情况下，绳子拉力可表示为T=m(g-Rβ1). 此时转盘还受到阻力矩Mμ，因此，根据M=Jβ，有

m(g-Rβ1)R-Mμ=Jβ1,

(1)

去除绳子后拉力T消失，转盘在阻力矩Mμ作用下做角加速度为β0的减速运动，即

-Mμ=Jβ0,

(2)

联立(1)～(2)式，可得

(3)

图1 恒力矩转动法测刚体转动惯量实验装置图

很明显，对于任意情况下的转盘来说，只要测得落体质量m，塔轮半径R，角加速度β1和β0(利用角位置-时间关系)，就可以得到其转动惯量. 根据转动惯量叠加原理，分别测量空转盘和载有待测物体时转盘的转动惯量J0和J1，就可以用J=J1-J0计算出待测物的转动惯量J.

2 恒力矩法测量转动惯量实验中存在的问题

恒力矩法是比较成熟的测量刚体转动惯量的实验方法，但从大量的学生实验中发现，该实验还是存在比较明显的测量误差. 这些误差问题在很多文献上都讨论过[5-11]，并提出过各种减小实验测量误差的方法，如：

1) 选择小质量的砝码、控制细绳直径和绕线方式来实现恒力矩；

2) 选择定滑轮的位置、调整塔轮和小滑轮间拉线水平度及距离来实现恒力矩；

3) 改进测量方法，降低阻力矩随角速度变化对实验结果的影响；

4) 通过数据处理寻找特征时间以优化测试手段.

在实验中我们已经注意了这些问题，但误差偏大问题还未能很好地解决. 通过深入地分析发现，除了文献[5]提及了公式推导中的系统误差外，大多数文献的讨论都忽略了最根本的问题，即式(3)的成立是有条件的，需要式(1)和式(2)中的阻力矩Mμ相同. 式(1)中的阻力矩不仅来源于空气和转轴，还来源于滑轮，而式(2)中的阻力矩主要来源于空气和转轴. 这是以前没有明确分析过的问题，也是真正能减小学生实验误差的关键问题. 只有消除来自滑轮的阻力矩，同时保证式(1)和式(2)中空气和转轴阻力矩基本相同(即二次转动时角速度基本相同)，才能使用式(3)获得较准确的结果.

具体来说，采用轻质滑轮来减小滑轮的转动惯量，利用滚动摩擦来减小滑轮的摩擦力. 在本实验中，采用了世纪中科的ZKY-ZS转动惯量实验仪(如图1所示)测量圆盘和圆环转动惯量，在图2的滑轮装置图中可以看出，仪器的滑轮固紧螺丝和细绳走线方式对转动惯量测量结果影响很大. 很明显，假如固紧螺丝过紧，滑轮在转动时就

会受到较大的摩擦力，此外，如果细绳走线时未对准滑轮轨道的中心，砝码向下运动时会对滑轮产生横向的力，增大摩擦. 为此，实验时需要学生调节滑轮固紧螺丝和细绳走线方式来最小化滑轮摩擦力. 否则，学生的实验结果会依赖于所用仪器滑轮和细绳走线状态，测量结果误差较大并难以重复，同时学生很难理解究竟是哪个环节出现问题，整体教学效果较差.

(a) 细绳走线对准滑轮中心 (b) 细绳走线偏离滑轮中心图2 滑轮装置图

3 教学方案的改进

为了解决上述问题，针对该实验，改进了教学模式. 在原理介绍中详细说明理论公式成立的前提条件，让学生自己思考并分别说明式(1)和式(2)中阻力矩来源，加深学生对滑轮固紧螺丝调节、细绳走线方式及2次转动过程中角速度基本相同这3个要素重要性的理解. 在此基础上，自然地将滑轮的调整引入实验教学过程中，要求学生自行调节滑轮固紧螺丝位置，并将细绳穿过滑轮的中心，使滑轮的摩擦阻力最小. 然后将一次落体法引入教学过程，同时测量细绳带落体的加速过程和拉绳自动脱离后减速过程的角位置-时间关系，分别计算出加速过程的β1和拉绳自动脱离后减速过程的β0. 最后，要求学生把不同转动惯量下测到的时间t-角位置θ数据画在同一张图上(如图3所示)，定性地比较转动惯量大小和角加速度的关系，同时有助于判断实验结果的准确性.

(a) 对应有落体的加速过程

(b) 对应细绳脱离后的减速过程图3 空载物台、圆盘和圆环的时间-角位置关系图

4 改进前后学生的实验误差对比

从图4～5给出的改进前后学生实验误差的统计可以看出，学生实验误差明显降低，说明这种解决问题的思想和方法是正确的. 实验改进后，学生不仅从机理上理解了滑轮固紧调节、细绳走线方式及角速度控制的重要性，而且思路清晰，实验中不再需要教师反复强调提醒后去调节仪器，既做好了实验，又减小了误差，收到良好的实验教学效果.