培养数形结合思想 提高数学解题能力

摘 要：数学学科不同于其他的课程，数学知识之间的逻辑性较强，前后知识的联系较为紧密，而且灵活多变，所以对于高中生的数学解题能力提出了更高的要求。高中数学知识中设计很多等式和不等式的问题，采用数学结合的方法进行解题，有助于将抽象的题目形象化，提高解题效率，开拓学生的解题思路。所以，培养高中学生数形结合的解题思维，是高中数学教学过程中的一个重要目标。

关键词：数形结合；高中数学；解题能力

高中数学的难度相比较学生以往学习的数学知识难度和复杂度都有一定提升，学生在解题的过程中，仅靠数值计算或是空间想象，解题的效率较低。所以，数形结合的解题方法可以很好地辅助学生解答抽象数学的应用题，开拓学生的解题思路。下面我将结合我多年的高中数学教学经验，来谈谈对于培养高中生数形结合思维能力的几点看法。

一、 正确理解数形结合

“数形结合”，顾名思义，就是数字与图形相结合的思想，数指的是高中数学中的数值，形指的是空间上的图形或曲线等。学生在学习高中数学的过程中很容易发现，解答的许多应用题或是空间几何题目，是需要数形结合来解答的。

例如：在学习“集合与函数概念”这一课时，会涉及交集、并集、空集等几何的概念，因为集合的文字表述较为抽象，高中教师就可以通过图形示意图的形式来表示。比如，集合A和集合B的交集，数学教师就可以画出两个圆圈，两个圆圈重合在一起的部分表示两个集合的交集。通过图形表示的形式，学生理解起来更容易，对交集概念的理解也更加深刻。

二、 合理使用数形结合思想

学会在对数形结合的解题方法有了正确的认识之后，还要通过具体的练习掌握数值转换为图形，以及图形转换为数值的方法。学生在解答一些比较抽象的数学题目以及一些难度较大的代数问题时，可以转换解题思路，将数值表示转换为图形表示。图形较为直观，很多从数值中无法找到的解题关键点，可以从图形上一目了然地发现。

例如：在学习“函数与方程”時，很多情况下需要学生求解方程的零点个数以及相应的零点值。比如一元二次方程，学生可以通过画图形的方式，画出曲线与坐标轴的交点，以便更直观地看出方程零点的个数。对于求解方程组的题目，学会可以将几个方程转换成相应的曲线表示，分别画在同一个坐标系中，通过观察曲线之间交点的个数，可以判断方程组解的情况。比如方程组中含有两个方程，如果两条曲线没有交点，则该方程组无解，若两条曲线有一个交点，则方程组存在一个解，以此类推。将数值转换成图形的形式来解答，简单直观，便于理解。

图形虽然表现形式较为直观，但是只能对问题定性的判断，不能完成准确地计算。所以，在需要求解精确数值的情况下，需要将图形转换成数值并加以计算。例如：在学习“直线与方程”，“圆与方程”的数学知识时，题目中可能会先给出直线与点的位置关系坐标图，让学生求解点到直线的距离，这时，如果通过对图形进行测量的方法是无法精确得出点到直线的距离的，需要学生利用点到直线的距离公式，将直线方程和点的坐标代入到公式中求解。

由此可见，数值与图形的正确转换，可以辅助学生完成对定性问题的判断和定量问题的计算，对学生顺利解答题目起到重要作用。

三、 综合应用数形结合的方法

将数值转换成图形，将图形转换成数值是双向的过程，学生在应用数形结合思想解题的过程中不能将其割裂开，否则将大大限制数形结合思想的应用。因此，在学生掌握了将数值转换成图形和将图形转换成数值的基础上，高中数学教师要加强对学生数形结合思想的综合能力的培养，实现对复杂数学问题的顺利求解。

例如：在学习一次函数和二次函数时，学生经常会遇到如下题型。“已知一条直线方程y=kx+3，一条双曲线x2-y2=2，如果直线与双曲线存在两个交点，请讨论斜率k需要满足怎样的条件？”学生在解答该题时，可以先将抽象的方程形式转换成图形的形式，先画出确定的双曲线图形，然后在画出直线与双曲线存在两个交点时，具有代表性的几条直线图形。学生通过图形大致可以知道直线的斜率在变化的过程中，直线与双曲线的交点个数情况，学生在对临界情况进行具体的数值求解，将图形转换成数值。最终确定直线斜率k的取值范围。该类数学题目综合性较强，需要学生充分考虑到多种图形之间的位置关系，如果仅凭学生在脑海里的现象，很容易将一些情况遗漏，造成答题的不完整。由此体现出将数值问题转换成图形表示的重要性。如果只通过图形判断，学生无法得到精确的直线斜率值，所以还需要将图形问题再次转换成数值计算问题，数形的灵活转换是顺利解答该类问题的关键。

四、 数形转换中的注意事项

解答数学题目不仅需要学生掌握扎实的数学知识，还需要学生要有足够的细心，才能保证数学题目的正确解答。学生在进行数形转换的过程中，一定要保证转换的准确性。例如：

求解“y=2x与y=x2-2x+1的交点”时，学生需要先将方程转换成图形曲线，定性判断交点都个数，然后在定量计算。如果学生把“y=2x”转换成图形的过程中，将斜率“2”看成了“-2”，那么得到的曲线交点的情况与正确的答案大相径庭，导致最后计算的结果也是错误的。因此，学生在利用数形结合思想进行数形互换的过程中，一定要保证转换的正确性，这样才能充分体现数形结合思想的优势，否则将会事倍功半。

总之，培养学生数形结合的思想，需要学生在实际的练习中逐渐形成数形互换的能力，以提高学生对于复杂数学问题的解题能力。

参考文献：

[1]蔡邢.培养数形结合思想，提高数学解题能力[J].理科考试研究，2013，20（21）.

[2]曾广平.活用数形结合思想提高数学解题能力[J].读与写旬刊，2011，08（8）.

[3]黄忠武.巧用数形结合思想提高数学解题能力[J].甘肃教育，2013（6）.

作者简介：

况银环，江西省宜春市，江西省高安中学。