非高斯噪声下信源数未知相干信号DOA估计

钟安琪，郭 莹

（沈阳工业大学信息科学与工程学院,沈阳110870）

1 引言

利用处于不同位置的阵列天线接收来自不同方位信号源的信号，并计算信号源的波达方向（direction-of-arrial,DOA），是阵列信号研究中的一个重要课题，目前已取得丰硕成果，在雷达探测、水中声纳、无线通信航空导航和医学等领域均有广泛应用。

波达方向估计中经典算法如Capon算法[1]和前向平滑（FOSS）算法[2]等都是在高斯噪声背景下进行计算的，但在实际中噪声并不都是完全呈高斯分布的，比如大气（雷电）噪声、海洋杂波和地表杂波等，在这些噪声中存在十分明显的脉冲尖峰会严重降低基于高斯分布假设的算法的性能，所以在这种环境背景下传统的高斯分布模型不再适用。通过选择具有厚重拖尾的分布统计模型如α-稳定分布[3]，可以解决在非高斯噪声下的波达估计问题。针对非高斯噪声下的相干信号的DOA估计问题，文献[4]提出了建立前/后平滑低阶矩阵来进行DOA估计的FLOM-SS算法。文献[5]通过将共变矩阵与前后向平滑算法结合，提出改进的MMUSIC算法。但上述算法均存在一个缺点，就是都要在信源数目的先验信息为已知的前提条件下，才能进行有效的DOA估计。在实际环境中，信源数的信息通常很难得到，不确切的信源数可能导致算法的失效，这就构成了实际应用中的局限性。

为此，基于 SW（Shapiro-Wilk）检测[6]，提出一种新的非高斯噪声下信源数未知的相干信号DOA估计方法，即采用SW检测来完成对粗差信号的检测，再以自适应的方式去除信号中的非高斯脉冲噪声[7]；之后将除粗差后的数据作为新的输入信号，得到其协方差矩阵；对协方差矩阵的每一行进行Toeplitz矩阵的建立，使其秩只与信号的波达方向有关，而不受信号相关性的影响，从而达到去相关的目的；然后根据其联合对角结构生成无需信源数目的代价函数[8]，再通过由代价函数推导出的一维空间谱搜索来进行DOA估计。

2 信号模型

使用均匀线性阵列来作为DOA估计模型，如图1所示。

图1 阵列模型

设定阵列模型是一个阵元数为(2M+1)的线性均匀阵列,阵源间距为d，有Q（Q≤M+1）个窄带远场信号从不同方向即θi(i=1,2,...,Q)发送到阵列当中，并且θq∈(-90°,90°)和d≤λ/2,λ为信号的波长,λ=2πc/ω0,ω0为入射信号的中心频率。以中心阵元作为参考阵元，假设入射信号与噪声分别独立，前K个信号为相干信号，其它信号独立不相干，那么第m个阵元所接收到的信号为：

式中si(t)是第i个信号的复包络，nm(t)是第m个阵元上的噪声,为振幅衰减因子,并且为了使si(t)到s1(t)之间的相位差不失去一般性，我们假设则有：

其矢量形式为：

式中,S(t)=[s1(t),s2(t),...,sQ(t)]T是Q×1维的入射信号源矢量，且均值为零，彼此独立。与之相对应的阵列流形为：

3 新算法的提出

3.1 SW检验

假设检验是分析数据样本数据特性的方法之一，是根据设定的假设条件用样本数据去推断总体。总的来说，假设检验分为五个步骤：

(1)收集数据；

(2)定义原假设和备择假设；

(3)选择显著性水平α；

(4)得出检验统计量的值及P值；

(5)选择或拒绝原假设。

所使用的假设检验是Shapiro和Wilk在1965年所提出的Shapiro-Wilk检测即SW检测，是一种效果明显且步骤简单的正态性检验方法[9]。其检验统计量为：

式中，χi是样本中第i个顺序统计量（从小到大排列）的值,是样本平均值，常数ai由下式得出：

其中 m=(m1,m2,...,mn)T，而(m1,m2,...,mn)是标准正态分布下独立同分布随机变量的顺序统计量的期望值；V是顺序统计量的协方差矩阵。W的值在0和1之间，若W的值小于判断界限值（可通过查表求得），舍弃正态性假设；反之，则接受正态性假设。若原假设是样本符合正态分布，当其P值（满足p=P{|Xc|＞Zc},其中Xc是样本值统计量，Zc是根据样本数据计算得到的检验统计量值）小于等于显著性水平α，则拒绝原假设，即测试数据不符合正态分布；反之，如果P值大于α，那么不能拒绝样本数据是正态分布的原假设。

输入快拍数为300的包含非高斯噪声的样本数据，且定义其显著性水平α=0.035，对于非高斯脉冲噪声的SW检测结果如图2所示，可看出SW检测能较好地剔除样本中的非高斯噪声。

图2 Shapiro-Wilk检测结果

3.2 去除粗差

非高斯脉冲噪声的性质与统计模型中的粗差（outlier）有一定的相似性[10]。因为在重尾分布中出现粗差值的概率，比高斯分布中发生超过标准偏差的概率更高。即在高斯噪声模型中，这些较大的值（非高斯脉冲噪声）不太可能出现，因此可以将非高斯脉冲噪声认为是粗差，进而可应用假设检验理论的相关方法去除幅值相对较大的粗差值，降低非高斯噪声的脉冲特性对DOA估计性能的负面影响，且相比于FLOM-SS算法和改进的MMUSIC算法，已不需要预知低阶矩参数信息。

因此，当检测到接收信号的某个样本为非高斯样本时，以自适应预处理的方式将其去除，从而保证处理后的数据呈现出符合高斯分布的特性，达到抑制非高斯脉冲噪声的目的。设每一阵元接收到的离散数据序列为：

式中N为快拍数。具体地，对xk的实部和虚部分别进行处理，这里以实部举例说明，虚部同理可求。

先对其进行排序得：

式中，bu为常数系数为剔除m个样本值余下的样本信息，为其均值。若W大于判断界限值，则剩余样本序列接收高斯分布的假设，否则令m增大，继续进行假设检验，直至高斯分布假设被接受。该粗差去除过程以自适应方式完成，可描述为图3所示过程。

图3 基于SW检测统计量的处理过程

3.3 信源数目未知的相干信号DOA估计

根据文献[11]构建Toeplitz矩阵可得：

选择(10)中第m行构成Toeplitz矩阵得：

式中：

IM+1,m为除了第m个对角线上元素为1，剩下其他的元素都为0的一个(M+1)×(M+1)维矩阵；

Sn=diag{sm,1,...,sm,P}是伪信号协方差矩阵；

Rm是具有2M+1行的矩阵并具有联合对角结构，由于其前m行和后m行为共轭对称(由图1得m=-M,...,0,...,M)，对称部分具有同样的统计特性和信息，故此仅对前M行进行Toeplitz变换即可。

根据文献[8]的部分理论推导可得到最终的空间谱估计式：

式中有：

在式(14)中max eig{·}代表矩阵的最大特征值；因Rm具有联合对角结构，根据文献[8]中推导得代价函数J，因此在确定搜索范围后，再通过由J生成的新的空间谱估计表达式，用一维搜索来求出谱峰（局部最大值）进而估计出其波达方向，且上式中只需求得最大特征值就可以估计出P(θi)，所以在进行DOA估计时不需要信源数目的先验信息。

通过使用Toeplitz矩阵来重新构建接收信号的协方差矩阵，利用其结构特性可解决相干信号问题，即当信源为相干时，造成接收到数据的协方差矩阵产生秩的亏损，使得信号子空间维数小于信号源数，从而信号子空间混合到噪声子空间中去，通过式(13)使得满秩，达到去相干的目的，增大了DOA估计的准确度。

综上所述，在非高斯噪声下未知信源数相干信号波达方向估计方法步骤可总结为：

(1)设置参考阵元，通过SW检测统计量预处理自适应地对接收信号除粗差，得到新序列样本；

(3)选择R的前(M+1)行并且对每行向量进行Toeplitz变换如式(13)，构造新样本协方差Rm；

(4)依照式(16)和(17)来构建矩阵F和G；

(5)利用式(14)来进行谱峰搜索并确定谱峰位置，得到DOA估计结果。

4 算法仿真

4.1 非高斯噪声模型

非高斯噪声模型采用的是关于零点位置对称分布的α-稳定分布(SαS)。其特征函数表示为：

式中，α(0＜α≤2)被称为特征指数，用于描述拖尾分布的厚重程度，随着α值的减小，噪声的脉冲特性增大；γ(γ＞0)为尺度参数。当α=2 时，α-稳定分布变为高斯分布并且γ2类似于高斯分布的方差。当α=1时，α-稳定分布变为柯西分布。当α＜2时，α-稳定分布噪声具有厚重的拖尾，变为脉冲噪声。

4.2 性能指标及参数设置

在仿真实验中，采用13阵元均匀线性阵列，阵元间距为半波长，信号为远场窄带信号,非高斯脉冲噪声符合SαS分布且α=1.6,因为α-稳定分布噪声中不存在有限的二阶矩(即方差不存在),因此通常使用的信噪比定义(信号功率与噪声功率比的分贝数值)性能分析也就失效了。故此采用广义信噪比（Generalized Signal-Noise-Ratio,GSNR）来表示信号与噪声的相对功率：

定义信源DOA估计的样本均方误差根误差（Root Mean Square Error，RMSE），用来描述算法的估计性能：

4.3 算法性能比较

仿真1：假设阵元数M=13，快拍数N=800，信号入射角度为20°和60°且输入信号为相干信源（使其相关系数为1)，样本显著性水平ã=0.025，加入α=1.6、GSNR=5dB的SαS非高斯脉冲噪声。

将本算法分别与经过SW检测自适应预处理后的CAPON算法、FOSS算法、FLOM-SS算法及改进MMUSIC(Improved MMUSIC,I-MMUSIC)算法进行DOA估计对比。为便于仿真比较，对每个算法的空间谱进行归一化处理，通过划分其频谱的最大值来实现归一化空间谱。CAPON算法在信源为相干时性能失效，因此在这里用FOSS算法所求得的协方差矩阵来代替CAPON算法中本身的协方差矩阵。各算法的对比结果如图4。

图4 信源相干下各算法归一化空间谱估计比较

由图4可知，对于非高斯噪声下相干信源的DOA估计，经过SW检测统计量自适应预处理后，本算法性能优于其他算法，且峰值明显；而CAPON算法、FOSS算法虽然能估计出结果，但性能效果较为退化。

仿真2：与仿真1的各条件保持不变，使蒙特卡洛试验次数为300次，求出各个算法在GSNR由-5dB到20dB下的均方根误差值，如图5所示。

图5 信源相干下各算法均方根误差与广义信噪比关系

由仿真2的结果可以看出，对相干信号做DOA估计时，当GSNR由-5dB增大到5dB时，CAPON算法和FOSS算法浮动较大。10dB之后除FOSS算法，其他算法的均方根误差逐渐减小趋于稳定。本算法在GSNR较小时，均方根误差相比其他算法均小，整体性能表现最为稳定。

仿真3：设定GSNR=10dB，其他条件不变，求出各算法在快拍数由100次到800次所对应的均方根误差率，如图6所示。

图6 信源相干下各算法均方根误差与快拍数关系

由仿真3的结果可知，本算法的均方根误差不仅仅在低快拍数下有优于其他算法的性能，且随着快拍数的增高，其曲线比FLOM-SS和I-MMUSIC算法的表现都要更加稳定。

仿真4：设快拍数N=400，其他条件同仿真1，求出各个算法在GSNR由-5dB到20dB变化时的成功概率（成功概率判定误差范围设定为1.2°），如图7所示。

由仿真4结果可知，对于相干信号的DOA估计，本算法性能优于其他算法；在0dB到10dB之间，本算法相比于CAPON算法、FOSS算法、FLOMSS算法和I-MMUSIC算法均有更优表现；随着GSNR增加到10dB时，I-MMUSIC算法的DOA估计准确度性下降。FLOM-SS算法性能较FOSS算法更好，而本算法仍比其他算法具有更高精度分辨率及良好的稳定性。

图7 信源相干下各算法成功概率与广义信噪比关系

仿真5：设定GSNR=5dB，其他条件不变，求出对各算法在快拍数由100到800次下的均方根误差率，如图8所示。

图8 信源相干下各算法成功概率与快拍数关系

由图8得知，在低快拍数时，本算法对于相干信号的估计有着较高准确度，而随着快拍数增加，准确度仍十分稳定。

5 结束语

针对非高斯噪声下相干信号的DOA估计，提出一种非高斯噪声下信源数未知的相干DOA估计方法。结合SW检验统计量的方法，自适应地对混有非高斯噪声的信号进行预处理,去除粗差值；对预处理后的新样本序列构建Toeplitz矩阵，利用其联合对角化结构实现未知信源数目的相干信号DOA估计。该算法无需噪声的概率密度函数或者特征指数等参数的选择，因此不仅仅适用于SαS模型，也适用于其它非高斯混合噪声模型。大量的计算机仿真实验结果表明，与现存一些算法相比，本算法具有较高的精度及稳定性，可对非高斯噪声下信源数未知的信源进行准确DOA估计。