例谈中考“圆”的问题

肖 健

圆是初中平面几何中的重要内容，也是中考的重点内容.下面我们就一起来看下这部分内容常见的考点.

考点一：圆有关概念

主要考查圆及其有关概念，如弦、弧、圆心角、等圆、等弧的概念.

例1（2016·山东潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）.

【解析】连接OP，显然OP是Rt△AOB斜边上的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB.由于木杆不管如何滑动，长度都不变，所以OP长为定值，所以P点就在以O为圆心的圆弧上.故选：D.

【点评】此题很灵活地考查了圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.木杆AB在运动过程中，位置是变化的，但其中P点到O点的距离保持不变.

考点二：圆的有关性质

主要考查圆的中心对称性、旋转不变性和轴对称性、垂径定理的使用.

例2（2017·青海西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）.

图1

【解析】如图2，连接OC，作OH⊥CD于H.

图2

在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，

【点评】结合条件，首先应该想到垂径定理，作出垂线段是解决本题的关键.圆中求半径长、弦长或弦心距，通常要综合使用垂径定

∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA-AP=2，

在Rt△OPH中，

∵∠OPH=∠APC=30°，理、勾股定理、三角函数等知识.

考点三：圆周角概念、圆周角定理（推论）、圆的内接四边形性质定理

例3（2017·湖北荆州）如图3，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是

图3

图4

【解析】如图4，连接OB，

易知AB=OA=OB=BC，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOC=120°，

∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°.

故答案为60°或120°.

【点评】此题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质定理.由于D点位置不确定，所以要进行分类讨论.分类讨论思想的渗透是本题的亮点.

考点四：直线与圆的位置关系

主要考查直线是圆的切线的判定条件、直线与圆相切的性质.

例4（2017·浙江衢州）如图5，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点.过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是

图5

图6

【解析】如图6，作PQ相切⊙A于点Q，连接AP，

∵PQ是⊙O的切线，

∴PQ⊥AQ，∴∠PQA=90°，

∴在Rt△APQ中，PQ2=AP2-AQ2=AP2-1，

∴当AP最小，即AP⊥BC时，PQ最小.

又∵由直线解析式可得C（4，0），B（0，3），

∴BC=5.

∵A（-1，0），

∴AC=5=BC.

又∵∠C=∠C，

∠APC=∠BOC=90°，

易证△CBO≌△CAP，

∴AP=3，∴PQ=2 2.

【点评】此题考查了切线的性质.连接圆心与切点是一条常用辅助线，由此构造出的直角三角形广泛应用于圆的证明和计算中.

例5（2016·湖北荆门）如图7，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.求证：CE是⊙O的切线.

图7

【解析】证明：如图8，连接CO.

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC‖FD.∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线.

图8

【点评】此题考查了切线的判定.证明切线的常用方法有两种：当已知直线与圆有公共点时，常证明直线经过半径的外端并且垂直这条半径，即“连半径，证垂直”；当题设中未给出直线与圆的公共点时，常证明直线到圆心的距离等于该圆的半径，即“作垂直，证相等”.此题用的是第一种方法.

考点五：与圆有关的计算

主要考查弧长、扇形面积、弓形面积的计算，圆锥的侧面积和全面积的计算.

例6（2016·江苏苏州）如图9，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为

图9

【解析】如图10，连接OC.

图10

∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，∴∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

又∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，∴∠D=30°，

∴∠COD=60°，

∵CD=3，∴OC=3tan30°=3 ，

∴阴影部分的面积=S△DCO-S扇OCB=

【点评】此题综合性较强，涉及圆中较多的知识.阴影部分面积的求解关键是求出△OCD和扇形OCB的面积.一般情况下，不规则图形面积通常使用割补法求解.

例7（2017·浙江杭州）如图11，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）.

图11

A.l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2

B.l1∶l2=1∶4，S1：S2=1：2

C.l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4

D.l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4

【解析】△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体都为圆锥体.

∴l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，

∴l1∶l2=1∶2，

∵S1=π×1× 5= 5 π，S2=π×2×=2π，

∴S1∶S2=1∶2.故选：A.

【点评】此题关键是要认识到△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体都为圆锥体，然后再应用圆锥的侧面积公式解决即可.应用公式时，务必弄清楚母线长和底面圆半径是否已知，如果不已知，则需求解后再用公式.