一道2018年全国卷高考试题的商榷<br/>——兼谈二项分布和超几何分布

一道2018年全国卷高考试题的商榷
——兼谈二项分布和超几何分布

2018-10-24山东省济南市教育教学研究院邮编250001

中学数学教学 2018年5期

山东省济南市教育教学研究院 (邮编：250001)

概率是新课改以后中学数学新增的教学内容，它与现实生活紧密联系，有很强的实用性.二项分布和超几何分布是两个应用广泛的重要概率模型，生活中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决，在近年的高考试题中经常出现，二者既有联系又有区别，因此正确区分并理解这两个概率模型至关重要.

1 高考真题与参考答案

2018年新课标I卷20题：

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0.作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

参考答案

令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1,

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元，

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

2 高考题的几点商榷

商榷1原题目中“先从这箱产品中任取20件产品作检验”，任取20件产品是有放回还是无放回，这涉及适用的概率模型是二项分布还是超几何分布？题目中没有明确说明20件产品的抽样过程，按照题目的表述，20件产品的抽样过程应该理解是不放回的抽样，因此，该题目中第一问的“20件产品中恰有2件不合格品的概率”应该按照超几何分布概型来计算.参考答案按照二项分布来计算，默认是有放回的抽样.

商榷2原题目中“设每件产品为不合格品的概率都为p”.每件产品是否为不合格产品是该产品的内在禀赋，它不存在不确定性.不确定性来自对总体的随机抽样而产生，因此，正确的表述应当是“每次抽样时，抽样的产品为不合格品的概率为p”.

商榷3原题目中“且各件产品是否为不合格品相互独立”.各件产品是否为不合格品不存在不确定性，不确定性来自抽样过程中，各件产品抽中为不合格产品是相互独立的.

商榷4原题目中“(ii)是否该对这箱余下的所有产品作检验？”根据待命题的否定，怎样叫不检验，是全不检验吗？还是不全检验？是否的真正含义是什么？

商榷5原题目中“(ii)是否该对这箱余下的所有产品作检验？”余下指的是这一箱余下的还是全部产品余下的，题目没有界定清楚.