策略得当，大小PK——函数值大小比较的方法技巧

☉安徽省安庆市第二中学东区 汪学思

函数值的大小比较问题，往往涉及指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质，以及对应的指数运算、幂运算、对数运算等相关内容，融合“函数”与“图像”加以数形结合，是高考中比较热点的一类常见题型.此类问题经常出现两个函数值或三个函数值的大小比较问题，有时以指数式形式出现，有时以对数式形式出现，有时指数式与对数式混合出现，类型众多.下面结合函数值大小比较的一些常见的思维方法加以实例剖析.

一、同底法

在判断全部涉及指数式或对数式的函数值的大小关系时，往往把相应的指数式或对数式化为同底，再结合相应的指数函数或对数函数的单调性来判断函数值的大小关系即可.

例1已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6，则（ ）.

A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b

解析：化同底得a=log23.6=log43.62，b=log43.2，c=log43.6，

而对数函数y=log4x在（0，+∞）上是增函数，又3.2＜3.6＜3.62，则有log43.2＜log43.6＜log43.62，即log43.2＜log43.6＜log23.6，那么有a＞c＞b.故选B.

点评：由于化同底后即可运用指数函数或对数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.解决问题的关键是正确判断对应的指数函数或对数函数的单调性，并结合相应的指数或真数的大小关系加以分析.

二、图像法

在解决一些指数式或对数式的函数值的大小关系时，经常通过转化，作出对应指数函数、对数函数及相关函数的图像，利用图像的交点及相应的函数图像的性质来确定对应函数值的大小问题.

例2已知实数a，b满足等式下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b.

其中不可能成立的关系式有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

其他三个关系式即成立.故选B.

点评：正确掌握指数函数或对数函数的图像与性质是解决问题的关键.这里关键在于掌握不同底的对数函数图像的规律：（1）底都大于1时，底大图低（即在x＞1的部分底越大图像就越接近x轴）；（2）底都小于1时，底大图高（即在0＜x＜1的部分底越大图像就越远离x轴）.

三、特殊值法

用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，再回归一般情况，从而作出正确的判断.使用特殊值法的关键就在于巧妙确定特殊值，往往能简缩思维过程，降低答题难度，从而迅速得解.

例3 （2017年山东卷理7）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）.

点评：通过特殊值的选取可以比较方便快捷地处理此类问题.在解决函数中的大小比较问题，往往优先考虑特殊值法，操作比较简单，且容易判断.通过特殊值的选取来解决往往比采用相关知识的概念、定理、性质、公式等来处理更显得简单易操作.

四、估算法

估算法是函数值的大小比较中最常见的一类方法，往往通过指数式、对数式所对应的指数函数、对数函数的图像与性质，结合相应的函数单调性估计出相应的代数值的正负情况，以及与0、1等相关数字的大小关系，进而得以完美、准确、迅速地确定答案.

例4（2015年山东卷文2）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）.

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a

分析：先估算出a，b，c三个值的变化范围，再根据取值范围来比较三者的大小关系.

解：由于0＜0.61.5＜0.60.6＜0.60=1，1.50.6＞1.50=1，所以b＜a＜c.故选C.

点评：解答此类比较代数式的大小问题，不方便直接求出各代数式的值，而是通过估算得到该代数式的变化范围，通过不同范围的关系来比较.在近几年高考的“多想少算”命题思想中，“估算法”更是解决此类问题的有效途径，关键是正确借助特殊值（如0，1等）来进行分析、估算与比较.

五、排除法

在解决函数值的大小关系时，有时可以通过排除不满足条件的大小关系，进而去伪存真，达到正确确定大小关系的目的.采用排除法处理思路较为简单，经常要多次选取不同的特殊值加以多次排除.

例5 设x，y，z为大于1的正数，且log2x=log3y=log5z，则的大小关系中不可能的是（ ）.

解析：取x=2，则由log2x=log3y=log5z，得y=3，z=5，此时易知成立，则选项C成立；

取x=4，则由log2x=log3y=log5z，得y=9，z=25，此时易知成立，则选项A成立；

点评：排除法一般用于定性型或不易直接求解的选择题中的函数值的大小比较问题，且往往与特殊值法等方法结合使用，是解答此类选择题的常用方法之一.解决问题时，往往通过多次特殊值的选取，结合指数运算、幂运算或对数运算，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.

六、差（商）比法

不同底但可以化为同指数（或真数）的两指数式（或对数式）比较大小时，往往可以采用商（或差）比法，通过两数作商（或差），结合指数幂（或对数）运算，确定其商（或差）式与1（或0）的大小关系，即可判断大小关系.

例6（2017年全国Ⅰ卷理11）设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

综上分析可得3y＜2x＜5z.故选D.

点评：不同底但可以化为同指数的两数比较大小，往往先对其加以作商，用商比法即可迎刃而解，判断相应的商式与1的大小关系.而不同底但可以化为同真数的两数比较大小，往往先对其加以作差，用差比法即可迎刃而解，判断相应的差式与0的大小关系即可.

其实，解决函数值大小的比较问题，思维各异，方法众多.通过不同的方法，着重展示如何灵活运用所学的知识、方法，求解与指数式、对数式等有关的函数值的大小比较问题，进而理清解题思维，提升分析、解决问题的能力，培养数学素养，拓展数学品质.