对一道高考题的多解探究——以2018年天津卷理第14题为例

☉江苏省宜兴第一中学 吴继敏

对学生来说，各类考试题无疑是一个最熟悉的“问题”，特别是历年的高考真题.经过理论和教学实践，充分说明一题多解是提高数学解题能力的有效途径.在一题多解中，通过典型问题呈现不同解法的同时，回顾与综合不同的知识点与不同的数学思想方法，灵活应用数学知识，充分暴露思维过程，真正提升能力，培养数学素养.

例题（2018年天津卷理14）已知a＞0，函数（fx）=若关于x的方程（fx）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是______.

本题设置非常巧妙，函数解析式中蕴含分段函数、二次函数，题目中涉及函数与方程，函数的解析式与零点，含参的函数解析式等，把函数中的相关问题加以充分整合与交汇，烹出一道美味“盛宴”.结合题目特征，可以从函数图像性质入手，结合判别式法或分离参数法等不同角度切入来分析，从而得以求解相应的参数值的取值范围.

通过对x≤0与x＞0时所对应的方程的转化，分别构造相应的函数利用求导，结合函数的单调性与极值来确定对应的极小值，再利用要使得方程（fx）=ax恰有2个互异的实数解，结合函数图像来确定参数a的取值范围.

解法1：（1）当x≤0时，方程（fx）=ax，即x2+2ax+a=ax，整理可得x2=-a（x+1），很明显x=-1不是方程的实数解，则

由g（′x）＞0，解得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时函数g（x）单调递增；

由g（′x）＜0，解得x＜-2，此时函数g（x）单调递减.

所以当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4.

（2）当x＞0时，方程（fx）=ax，即-x2+2ax-2a=ax，整理可得x2=a（x-2），很明显x=2不是方程的实数解，则

由h（′x）＞0，解得x＞4，此时函数h（x）单调递减；

由h（′x）＜0，解得0＜x＜2或2＜x＜4，此时函数h（x）单调递增.

所以当x=4时，h（x）取得极大值为h（4）=8.

那么要使得方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，结合函数图像可知4＜a＜8，

故填答案：（4，8）.

确定x≤0与x＞0时对应的判别式，结合函数g（x）恰有2个不同的零点（前提条件是a＞0）分三种情况加以分类讨论相应的判别式所满足的条件，进而确定参数a的取值范围.

解法2：由题可设函数当x≤0时，Δ1=a2-4a；当x＞0时，Δ2=a2-8a；

根据题目条件可知函数g（x）恰有2个不同的零点（前提条件是a＞0），可以分为以下三种情况.

综上分析可得4＜a＜8，故填答案：（4，8）.

由题意根据x≤0和x＞0两种情况加以分类讨论，通过分离参数a确定相应的关系式，进而构造相应的分段函数，结合函数g（x）与函数y=a有2个不同的交点的等价转化，利用对勾函数的图像与性质及换元法，分区间构造方程探究两根的条件确定参数a的取值范围.

解法3：由题意根据x≤0和x＞0两种情况加以分类讨论，分区间构造方程探究两根的条件确定参数a的取值范围.

当x≤0时，方程f（x）=ax，即x2+2ax+a=ax，整理可得x2=-a（x+1），很明显x=-1不是方程的实数解，则

当x＞0时，方程f（x）=ax，即-x2+2ax-2a=ax，整理可得x2=a（x-2），很明显x=2不是方程的实数解，则令

原问题等价于函数g（x）与函数y=a有2个不同的交点，求a的取值范围.

而函数h（u）在（-∞，-1）上递减，在（-1，0），（0，1）上递增，在（2，+∞）上递增.

结合函数y=a（a＞0）的图像，考查临界条件，于是当4=h（-1）＜a＜h（2）=8，即所求实数a的取值范围是（4，8），

故填答案：（4，8）.

结合x＞0与x≤0时，通过方程f（x）=ax的转化，根据方程中对应的系数与两根之和、两根之积的正负情况分别来讨论，通过要使得方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则两方程判别式必一正一负，结合判别式建立相应的不等式来确定参数的取值范围.

解法4：当x＞0时，方程f（x）=ax可化为-x2+ax-2a=0，即x2-ax+2a=0.

由根与系数的关系可知，若此方程有实数根，则两根之和为正，两根之积为正，都满足条件.

当x≤0时，方程f（x）=ax可化为x2+2ax+a=ax，即x2+ax+a=0.

同理可得，两根之和为负，两根之积为正，也满足条件.

那么要使得方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则两方程判别式必一正一负，

由Δ1=a2-8a，Δ2=a2-4a，则知Δ1Δ2=a2（a-8）（a-4）＜0，

解得4＜a＜8，故填答案：（4，8）.

点评：求解函数的零点问题的常见方法：

（1）直接求零点：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［a，b］上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

其实，解题的思维一定不能单一，具体解题时应该以常规方法优先，然后逐步优化，当面临较为特殊的结构时，往往多思考就有更为巧妙的方法.因而当我们解完一道题以后，要不断领悟反思，多角度切入进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.通过典型实例的一题多解，可以使得我们的解题思路更加开阔，数学知识的掌握更加熟练，同时思维拓展，妙法顿生，提高解题速度，培养发散思维能力，有助于激发我们学习的主动性、积极性和趣味性，从而全面提高我们的知识水平和思维能力.