横看成岭侧成峰—— 一道含参根式题的多维破解

☉江苏省南通中学 李维坚

函数最值问题是高中数学的重要问题之一，其求解方法很多.近几年，函数解析式中含有二次根式，并求其最值的问题层出不穷.一般可采用分子（分母）有理化、平方、换元（包括三角换元，双变量换元）、配方、导数、均值不等式、柯西不等式、数形结合、判别式法，构造法（向量法构造、几何图形构造）等各种方法来解决形如等含二次根式的函数.其中（fx），g（x）多以一次函数、二次函数、三角函数等形式给出.以上方法灵活解决这些函数时，无出其右.而当这类函数中含参，已知函数最值，逆向求参数范围时，思维角度就更广更多样.下面就以一道高考模拟题举一隅而反三隅.

导数的引出和定义始终联系着函数的思想，涉及数学中多种思想方法，同时又是衔接初、高等数学的桥梁，它的出现为解决一些数学问题提供了新的视野.导数作为一种工具，在解决数学问题中有广泛应用，而导数又是一种特殊的函数，对加深函数的理解和直观认识有重要作用，所以在处理函数的单调性、图像、凹凸性与拐点、极值与最值、参数等问题时作用尤为显著.应用传统的定义法和图像法解决这类函数问题，虽然比较突出本质，但是若问题中函数比较复杂时，会加大解题者的压力，而应用导数处理则有清晰的解题思路，具有解题效率高的特点.特别当面对奇怪难看的函数，只要克服运算上的畏难心理，不要畏缩不前，那么这个问题用导数这个工具还是可以化解的.

策略二、均值不等式

易知a>0，a≠1，且（fx）是定义域上的奇函数，其值域关于原点对称，所以

本题结合平方化方法，利用基本不等式局部处理变量的最值，起到了拨开云雾见晴天的作用.均值不等式在求最值，比较大小，逆向求参数的范围，证明不等式等方面有广泛的应用.解题的突破口在于如何凑出定值——积定和最小，和定积最大.

策略三、构造法之几何图形

设∠BAD=α，∠CAD=β.

因为2S△ABC=CB·AD=AB·ACsin∠BAC≤AB·ACsin90°，所以当且仅当α，β互余，即时，取等号.

一些代数问题，用代数方法求解很麻烦，甚至一时不知从何处着手.若我们通过观察发现问题条件的数量关系有着明显的几何意义或可将该问题转化为几何图形，这时我们就可以借助几何图形的性质，从而使问题得到解决.由上面的例子我们可以看出，构造法具有很大的灵活性和技巧性，它是多种思维方式渗透、连贯、融会的产物.我们解题时不是胡思乱想瞎构造，而是依据数量关系所赋予的几何特征而构造出不同的几何模型的.用构造法解题有利于学生打破思维定势，激发创造性思维，培养学生敏锐的观察力，提高学生分析、解决问题的能力.

策略四、构造法之向量

一般来说，由根式的结构形式可以联想到距离、模长等，不难发现的结构与向量的数量积的坐标形式特别相似，且注意到与x的平方和为常数，所以考虑构造向量来解题.当然向量的|m·n|≤|m||n|这个不等式其实是柯西不等式的二维形式，所以本题直接用柯西不等式也是一样的.

当遇到一些比较抽象的题目，一时难以下笔时，不妨考虑一下它能否在已学习的具象化概念或者我们的生活中找到原型，将问题放到我们构造的熟悉的数学模型或者实际环境中去研究，化抽象为具体，化复杂为简单，从而达到解题的最终目的.

“构造法”是指为解决某个数学，利用知识间内在联系或是形式上的某种相似性，先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式），寻求与问题的某种内在联系，使之简单明了，起到简化、转化和桥梁的作用，从而找到解决问题的思路与方法.它重在“构造”，深刻分析、正确思维和丰富联想，它体现了发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造力的解决问题的方法.

策略五、化归为二次函数的判别式法

某些极端情况下可将函数的最值问题转化为恒成立问题，通过一步步变形，可以采用分离参数的方法或者当参变纠缠不清时，转化为二次函数的恒成立问题，利用判别式法逆向问题正向求解，对于本题而言，思维含量不大，但是有一定的计算量.

判别式法求函数的值域是易于理解的，但是当题目中x的限制条件太多时，会陷入复杂的分类讨论中.但是这种比较初等的方法在解决一些填空题的怪题时虽略显简单粗暴但确实有奇效.

多角度解题是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系，开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都十分有益.在教学中，恰当而又适量的采用一题多解的方法，进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度追踪，能以少胜多的巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，掌握基本的解题方法和技巧，提升学生的数学素养和数学精神.