Gantry Robot位置的异步电机驱动控制研究

赵丙昆 于海生

摘要： 针对Gantry Robot位置控制效果不佳的问题，本文提出了PD加重力补偿控制与反步法相结合的控制方法。建立了机器人空间变换与动力学模型，外环控制采用PD加重力补偿控制，内环采用以转速误差和磁链误差为输入的反步控制，同时考虑异步电动机运行过程中转子磁链和负载转矩未知情况，引入转子磁链观测器和负载转矩观测器，并用Lyapunov理论判别整个系统的稳定性。仿真结果表明，机器人位置控制具有较好的跟踪效果，响应时间较短，静态和动态性能都很好，转子磁链观测器和负载转矩观测器可以精确跟踪转子磁链和负载转矩。该方法解决了异步电动机运行过程中转子电阻变化带来的负载转矩观测效果不佳问题，具有一定的理论意义和实际应用价值。

关键词： 3D龙门直角坐标机器人； 异步电动机； 反步法控制； 位置控制； 负载转矩观测器

中图分类号： TP242.6； TM343文献标识码： A

通讯作者： 于海生（1963），男，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为电能变换与电机系统非线性控制。Email： yhsh_qd@qdu.edu.cn直角坐标机器人的研究通常将机器人的动力学与驱动电机分开进行。近年来，许多研究者研究了机器人的高性能控制，有的采用神经网络控制来实现机器人控制[1]，该方法依靠大量编程语言来实现，但程序语言太复杂；也有采用自适应控制实现机器人控制[2]，该方式所设计的自适应律有时太过繁琐；而运用SMC方法设计机器人控制算法[34]，无法克服滑模控制带来的抖振问题。虽然这些方式能够实现机器人的高性能控制，但没有考虑电机的因素，特别是以异步电动机作为驱动电机的机器人控制。为解决这个问题，以3D龙门直角坐标机器人为研究对象，将异步电动机（induction motor，IM）作为Gantry Robot驱动电机，对机器人进行综合研究。异步电动机由于性能优越、运转可靠等优点得到了广泛关注[57]，特别是在港口货物搬运和装卸等领域得到较多应用。张春朋等人[8]中运用反馈线性化进行电机控制，在一定调速范围内可以实现电机控制；哈密顿控制方法是基于能量理论，解决电动机在稳态运行时能量损失最小问题[910]；反步法控制设计方法简单，在设计不确定系统（特别是当扰动或不确定不符合匹配前提时）鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性[1112]。本设计方案中外环位置控制器中x、y轴采取PD控制，z轴采用PD加重力补偿控制，该方法具有较高的可靠性和较好的抗滋扰能力；内环控制将转速和磁链误差作为反步控制器输入，该方法控制简单，具有良好的鲁棒性。考虑异步电动机运行过程中转子磁链和负载转矩未知情况，引入转子磁链观测器和负载转矩观测器。与传统机器人控制相比，该方案考虑了电机因素，且设计的控制器结构简单，解决了异步电动机运行过程中转子电阻变化带来的负载转矩观测效果不佳问题。该研究具有一定的应用前景。

1.1Gantry Robot空間变换与动力学模型

Gantry Robot通常有x、y、z 3个轴，x、y轴在水平面内，z轴垂直于水平面，3个轴两两垂直。机器人可实现横向、纵向和末端抓手的装卸运动。直角坐标系中，x、y、z轴都是直线运动单元，且每个轴由钢或铝支撑的滑块组成，驱动电机为异步电机。电机旋转带动滑块沿直线方向运动，机器人模型如图1所示。

由于各运动轴之间两两垂直且均为直线运动单元，故直角坐标系机器人运动学中只存在空间位置的平移变换而没有旋转变换。因此，Gantry Robot静态空间变换模型为

x

y

z=px/2π00

0py/2π0

00pz/2πθx

θy

θz，θx

θy

θz=px/2π00

0py/2π0

00pz/2π-1x

y

z（1）

其中，θ=θxθyθzT为电机转角；pi、ki（i=x、y、z）为i轴丝杠螺距、运动加速度与电机角加速度折算值。

机器人动力学模型为[13]

H（θ）+Rmθ+G（θ）=T（2）

式中，θ、分别表示3×1角位移、角加速度向量；H（θ）为正定且对称3×3阶混合惯性矩阵；G（θ）为3×1阶重力矩向量；T表示为3×1机器人输入力矩，T=τ-τL。式（2）中各系数矩阵为

Rm=＼[rx+br2ry+br2rz+br2＼]T

式中，m1、m2、m3和Jx、Jy、Jz分别表示x、y、z轴质量和电机轴转子转动惯量，J为负载轴转动惯量，r为折算比，Jmx、Jmy、Jmz为齿轮箱驱动侧转动惯量。

1.2异步电动机数学模型

引入dq旋转坐标系，且按转子磁链定向，即λrdi=λri，λrqi=0，推导建立异步电机数学模型[14]为

disdidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi+ωsiisqi+LmiRriσLsiL2riλrdi+1σLsiusdi

disqidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi-ωsiisdi-LmiωriσLsiLriλrdi+1σLsiusqi

dλrdidt=LmiRriLriisdi-RriLriλrdi

dωidt=τiJi-τLiJi

i=ωi（3）

τi=npiLmi（isqiirdi-isdiirqi）（4）

式中，isdi、isqi、usdi、usqi分别i（i=x、y、z）轴电机dq轴定子电流、电压；λrdi、Lsi、Rsi、Lri、Rri、Lmi分别为转子磁链、定子电感、定子电阻、转子电感、转子电阻、定子与转子之间互感；σ=1-L2mi/LsiLri漏磁系数；ωei、ωi、ωri分别为电角速度、转子机械角速度、电角速度；τLi为负载转矩；npi和Ji分别极对数和转动惯量。

2控制系统方案

考虑电机的Gantry Robot控制系统框图如图2所示。给定机器人期望位置后，经轨迹规划得出异步电动机期望转角，经相应控制器控制各轴电机，电机输出转矩给到机器人，最后机器人将实际角位置反馈给期望角位置。以异步电动机为机器人x、y、z轴驱动电机，外环输入为位置误差，经PD加重力补偿控制器得到参考转速ω*i（i=x，y，z），内环以转速误差和磁链误差为反步控制器的输入。

图2中，给定机器人末端位置（假设初始位置在坐标原点），根据式（1）可计算出机器人各轴驱动电机期望转角位置θ*i（i=x，y，z），机器人各轴驱动电机实际转角位置θi反馈回来，得到位置误差。定义位置误差e=θ*i-θi。位置环采取PD加重力补偿方法，使位置误差为零。基于直角坐标机器人结构，x、y轴无重力补偿项，只在z轴方向增加常数重力补偿项以此来抵消重力影响。控制律为

ωx=Kpxex+KDxx， ωy=Kpyey+KDyy， ωz=Kpzez+KDzz+G（θz）（5）

选取Lyapunov函数为V1=（TH（θ）+eTKPe）/2。由于H（θ）、Kp正定，则V1正定。根据文献[15]可得

1=TH（θ）+TKp=-TKD≤0（6）

式中，Kp=diag（Kpx，Kpy，Kpz），KD=diag（KDx，KDy，KDz）。当且仅当e=0时，1=0。由Lyapunov稳定性思想可知，位置控制子系统是渐近稳定的。

2.2转子磁链观测器的设计

图2中，设计转子磁链λrdi，由式（4）磁链方程可知，其估计值rdi可通过定子电流isdi来估计，即

λrdi=LmiRriisdi/Lri-Rrirdi/Lri（7）

定义误差eλi=λrdi-rdi，对其求导并结合式（3）磁链方程和式（7），得磁链观测误差λi=-Rrieλi/Lri。选取Lyapunov函数V2=e2λi/2，对其求导，得

2=eλrλr=-Rrie2λi/Lri≤0（8）

当且仅当eλr=0时，恒成立。因此磁链观测器渐近稳定。

式（7）转子磁链观测器含Rri，而电机运转过程中Rri因为温度升高和集肤效应等原因会发生变化，有时甚至会变化2到3倍。因此，根据PCH方法，设计转子磁链观测器，该转子磁链观测器避免了电机运行过程中转子电阻发生波动的影响。转子磁链观测器为

λr=Lrλs/Lm+（Lm-LsLr/Lm）is， s=-ωsJ2λs+us-Rsis（9）

2.3反步控制器设计

1）当τLi已知时，定义转速和磁链误差ewi=ωi-ωi，eλdi=λrdi-λrdi。对误差求导并结合式（3），得

wi=i-i=i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji（10）

λdi=rdi-rdi=rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri（11）

選取Lyapunov函数V3=（e2wi+e2λdi）/2，对其求导，得

3=ewiwi+eλdiλdi（12）

将式（10）和式（11）代入式（12），得

3=ewi（i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji）+eλdi（rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri）（13）

为使式（13）小于0，即3<0，选取以下控制

isqi=（k1iewi+i+τLi/Ji）/（a1iλrdi）（14）

isdi=Lri（k2ieλdi+rdi+Rriλrdi/Lri）/（LmiRri）（15）

为计算定子d、q轴电压usdi、usqi，定义电流误差esq=isqi-isqi，esd=isdi-isdi，对其求导，得

sq=sqi-sqi=sqi+isqi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）+ωsiisdi+Lmiωriλrdi/（σLsiLri）-usqi/（σLsi）（16）

sd=sdi-sdi=sdi+isdi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）-ωsiisqi-LmiRriλrdi/（σLsiL2ri）-usdi/（σLsi）（17）

选取Lyapunov函数V4=（e2sq+e2sd）/2，对其求导，并将式（16）和式（17）代入导数方程，得

4=esq（sqi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi+ωsiisdi+LmiωriσLsiLriλrdi-usqiσLsi）+

esd（sdi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi-ωsiisqi-LmiRriσLsiL2riλrdi-usdiσLsi）（18）

为使式（18）小于0，即4<0，选取以下控制为

usqi=σLsi（sqi+ωsiisdi+k3iesq）+isqi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri+λrdiLmiωri/Lri（19）

usdi=σLsi（sdi-ωsiisqi+k4iesd）+isdi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri-λrdiLmiRri/L2ri（20）

将式（13）、（14）代入式（12），式（19）、（20）代入式（18），得

3=-k1ie2wi-k2ie2λdi<0，4=-k3ie2sq-k4ie2sd<0（21）

恒成立，当且仅当k1i、k2i、k3i、k4i>0时，该子系统渐近稳定。

2）电机实际运行时，τLi未知，可设计τLi观测器来估计其值。设负载估计值为Li，则式（14）变为isqi=（k1iewi+i+Li/Ji）/（a1iλrdi）。τLi恒定且已知时，由式（4）得

i=ωi， i=a1irdiisqi-τLi/Ji， Li=0（22）

电机实际运行中，通常τLi未知，故要对其进行估计。在式（22）基础上引入位置误差，获得τLi观测器方程为

θi=i+k1（θi-i）， ωi=a1irdiisqi-Li/Ji+k2（θi-i）， τLi=k3（θi-i）（23）

其中，k1、k2、k3是设计参数。定义估计误差为i=θi-i，i=ωi-i，Li=τLi-Li，v=iiLiT。由式（22）和（23）得观测器跟踪误差动态方程为

=Av（24）

其中

A=-k110

-k20-1/Ji

-k300

显然式（24）线性自治。为证明式（24）渐近稳定，选取Lyapunov函数V5=vTPv>0，P正定矩阵。由Lyapunov方程ATP+PA=-Q，解得P矩阵为

P=Jik2/（2k3+2k1k2Ji）01/（2k3+2k1k2Ji）

0Ji/（2k3+2k1k2Ji）0

1/（2k3+2k1k2Ji）0-k1/[（2k3+2k1k2Ji）k3]，Q=100

000

000

依次判断P的顺序主子式可得，当k1>0，k2>0，k3<0时，P为正定矩阵，使V5=vTPv>0，5<0。故所设计的观测器是渐近稳定的。因此，τLi未知时，可用Li代替。式（24）特征方程为s3+k1s2+k2s-k3/Ji=0。假设所有极点都满足sp<0，可得k1=-3sp，k2=3s2p，k3=Jis3p。

2.4整个系统稳定性分析

整个系统的Lyapunov方程为V=V1+V2+V3+V4+V5，按照以上分析1≤0，2≤0，3≤0，4≤0，5≤0，证得≤0，易得整个系统渐近稳定。

2.5轨迹规划

采用逐点对照法实现直角坐标空间内的直线插补。设点M（xm，ym，zm）为轨迹上移动点，根据式（1）可计算角度序列θxjθyjθzj（j=1，2…），这些角度序列可作为图2中的给定值，然后依次进行偏差计算，最终实现直角坐标空间的直线插补。

3系统仿真及其结果分析

仿真所用电机参数为：Rs=0687 Ω，Rm=0001 Ω，Rr=0842 Ω，Ls=0084 H，Lm=0081 3 H，Lr=0085 2 H，np=2，Lsc=0006 421 47 H，J=003 kg·m2，额定磁链为1 Wb。PD控制器、反步控制器、负载转矩观测器设计参数为kp=10 000，kD=1，k1i=2 000，k2i=8 000，k3i=20 000，k4i=5 000，sp=-500。设定机器人初始位置为坐标原点，末端位置为（1，11，12 m）。为验证控制效果，对Gantry Robot的x、y、z轴电机进行仿真。3个轴异步电机角位移误差变化曲线如图4所示，转子磁链估计曲线如图5所示，负载观测器曲线如图6所示，Gantry Robot末端运动曲线如图7所示，各轴向位移与时间关系曲线如图8所示。

图8各轴向位移与时间关系曲线由图1可知，机器人各轴电机转角误差在t=006 s时收敛到零且响应时间较快，表明电机运行过程中动态和静态性能较好；由图2可知，两种磁链观测器对磁链的观测效果基本一致，表明电机运行过程转子电阻的变化对磁链变化影响不大；由图3可知，不含转子电阻的负载转矩观测器观测效果更好，基本与所给定的阶跃负载信号一致。该方法解决了异步电动机运行过程转子电阻变化带来的负载转矩观测效果不佳问题；由图4可知，末端轨迹契合规划要求，进行空间直线运动，达到预期目标；由图5可知，各轴向移动距离均达期望距离，机器人x、y、z轴位置控制可很好的实现。

4结束语

本文对3D龙门式直角坐标机器人位置的异步电动机伺服控制系统进行研究，将机器人运动控制与电机运动控制相结合，并将机器人各轴向运动转化为异步电动机转角运动。外环控制采用PD加重力补偿控制方法，内环采用转速和磁链的反步法控制。设计了负载转矩观测器，解决了异步电动机在运行过程中转子电阻变化带来的负载转矩观测效果不佳问题。仿真结果表明，Gantry Robot位置控制具有较短响应时间及较好的跟踪效果，静态和动态性能都很好。本文设计方法简单，便于实现，在港口龙门机器人应用方面前景广阔。下一步可设计Rr自适应估计律，以此实现高精度的Gantry Robot位置控制。

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