关于理想变压器问题的探讨

寇大武

摘 要：《变压器》是高中物理选修3-2中第二章第六节的内容，在教学中学生会提出一些高中教师比较难以回答的问题：变压器的输入电压到底是由线圈匝数决定还是由原线圈所接入的电源电压决定；变压器的输出功率决定输入功率，是否是我们需要多少功率就能得到多少功率；电流为输出电流决定输入电流，如果负载不接任何用电器，即输出电流为0的时候，输入电流应该也为0，在这种情况下，变压器是否就不能工作，此时的输出电压是否也就应该为0。笔者通过查阅资料将从三个方面解释此类问题：（1）变压器原、副线圈的电压、电流关系；（2）对理想变压器输入和输出功率的理解；（3）对空载时输入电流的理解。

关键词：理想变压器；磁通量；磁通量的变化率

一、变压器原、副线圈的电压、电流关系

对于这个问题很多老师认为：因为变压器的功率是输出决定输入的，既然功率为输出决定输入，由公式P=UI可得：

这里有几个问题值得思考：

第一，变压器的输入电压到底是由线圈匝数决定还是由原线圈所接入的电源电压决定；

第二，I1U1一定等于I2U2吗？

第三，既然变压器的输出功率决定输入功率，是否是我们需要多少功率就能得到多少功率；

第四，既然电流为输出电流决定输入电流，如果负载不接任何用电器，即输出电流为0的时候，输入电流应该也为0，在这种情况下，变压器是否就不能工作，此时的输出电压是否也就应该为0。

二、对理想变器电压关系的理解

对高中生来讲也可以这样简单推导：设变压器的输入电压为U1，原线圈匝数为n1，原线圈电动势为E1，内阻为r1，变压器输出电压为U2原线圈匝数为n2，副线圈电动势为E2内电阻为r2，则由闭合电路欧姆定律有：

U1=E1+I1r1 E2=U1+I2r2 其中E1=n1ΔΦΔt E2=n2ΔΦΔt

对理想变压器r1=0，r2=0，Φ1=Φ2，故有=U1U2=n1n2

前述推导电流电压，电动势用的是有效值，这个推导是不合适的，实际推导必须用瞬时值，还要考虑到相位差都不能提，其涉及到较为复杂的数学方法，在此不再赘述，不过对理想变压器而言，U1=E1，E2=U1还是成立的，前述推导，对高中学生而言，是有助于理解变压器的原理的。

通过查阅资料，在《电工学》中，笔者发现了磁路及其分析方法，如下：由于铁心的磁导率比周围空气或者其他物质的磁导率高得多，因此铁心线圈中的电流产生的磁通量绝大部分都会通过铁心而闭合，这部分磁通量称为主磁通，用字母Φ表示，此外很少的一部分磁通主要通过空气或者其他非导磁媒介而闭合，这部分磁通称为漏磁通，用字母Φ0表示，这两个磁通量在线圈中都产生了感应电动势，其中主磁电动势e，漏磁通产生的感应电动势为e0，在原线圈上电压和电流的关系可以通过基尔霍夫定律得出关系：即

U1+e+e0=Ri或

U1=-e+（-e0）+Ri=-e+Ldidt+Ri

其中，主磁通Φ=Φmsinωt则

e=-ndΦdt=-ndΦmsinωtdt=-nΦmωcosωt

=-nΦm×2πfcosωt=nΦm×2πfsin（ωt-90°）

其中Em=nΦm×2πf，是主磁电动势e的最大值，而其有效值则为

E=Em2=4.44fnΦm

通常由于线圈的电阻和感抗一般很小，因而其分得的电压也很小，与主磁感应电动势e比起来很小，故

U1≈-e≈-4.44fnΦm

从以上的推导，我们可以看出电源电压是等于主磁通产生的感应电动势，输入电压发生了变化，则变压器的输入电压也相应发生变化，只是存在着相位的不同步。

电流关系，当电源电压U1和频率f不变的时候，E1和Φm是接近常数的，也就是说，铁心中主磁通的最大值在变压器空载和有负载的时候是差不多的，故有负载时原线圈产生的磁通量和副线圈产生的磁通量和空载时原线圈产生的磁通量差不多，即：

n1i1+n2i2=n0i0

i0的作用是励磁电流，由于铁心的磁导率极高，空载电流是很小的，因此n0i0是可以接近忽略的，因此得出∶n1n2=i2i1

從以上的推导我们可以得出，即使在空载的情况下，变压器中仍然是有电流的，只是电流很小，这个电流是用来励磁的。也就解释了当负载为0的时候，变压器的原线圈副线圈仍然存在电压，也就确定了功率关系，即理想变压器输入功率等于输出功率。

高中习题中，关于变压器的动态分析中有此题.为探究理想变压器原、副线圈电压、电流的关系，将原线圈接到电压有效值不变的正弦交流电源上，副线圈连接相同的灯泡L1、L2，电路中分别接了理想变流电压表V1、V2和理想交流电流表A1、A2，导线电阻不计，如图所示.当开关S闭合后（ ）

A.A1示数变大，A1与A2示数的比值不变

B.A1示数变大，A1与A2示数的比值变大

C.V2示数变小，V1与V2示数的比值变大

D.V2示数不变，V1与V2示数的比值不变

正确答案为AD，高中生一般认为的结果是，改变负载L2，不能改变输入电压，由于输入电压U1不变，匝数比值不变，则根据n1n2=U1U2，则输出电压U2不变，所以D正确，而改变L2，使L2电路中电阻减小，故A2减小，A1也减小。

在这里，我们应该意识到，输入电压U1不变的原因是：在理想变压器中，电源的输出电压等于变压器的输入电压，由于电源电压没有发生变化，所以变压器的输出电压没有发生变化。由于变压器的输出电压没有发生变化，所以输出电压U2也没有发生变化，又因为L2中电阻变小，所以电流变大，虽然电路中除了I1和I2的电流，但是也存在励磁电流I0，由于是理想变压器，励磁电流I0可以忽略，仍然满足n1n2=i2i1，所以电流A1示数变大，A1与A2示数的比值不变。

三、对理想变压器输入和输出功率的理解

当副线圈回路有负载时，设副线圈电流为I2，则原线圈中会产生一个“反射电流”I‘1，I‘1与I2满足I‘1I2=n2n1，但是原先充的电流并不是I‘1，而是I1=I0“+”I‘1，其中“+”表示I0和I‘1包含含了相位差的相加，对理想变压器有I0≈0，故有I1I2=n2n1，当副线圈回路电流和电压相位差Φ时，副线圈输入功率为P-2=I2U2cosΦ，对理想变压器而言U1与U2相位差为π，因此，原线圈输入功率P-1=I1U1cosΦ。可见，I1U1=I2U2是成立的，当副线圈回路负载是纯电阻，Φ=0，故意P-1=I1U1，P-2=I2U2，高中阶段处理副线圈回路，一般是纯电阻电路，因此高中阶段直接认为P-1=I1U1，P-2=I2U2，I1U1=I2U2。

例如，如图所示的交流电路中，理想变压器输入电压为U1，输入功率为P1，输出功率为P2，各交流电表均为理想电表。当滑动变阻器R的滑动头向下移动时（ ）

A.灯L变亮

B.各个电表读数均变大

C.因为U1不变，所以P1不变

D.P1变大，且始终有P1=P2

此题应该选择D选项，因为U2不变，由公式P2=U22R，所以P2变大，又因为P1=P2，则P1也应该变大。

此处，我们可以关注，当副线圈回路电流和电压相位差Φ时，副线圈输入功率为P-2=I2U2cosΦ，对理想变压器而言U1与U2相位差为π，因此，原线圈输入功率P-1=I1U1cosΦ。可见，I1U1=I2U2是成立的，当副线圈回路负载是纯电阻，Φ=0，故意P-1=I1U1，P-2=I2U2，所以仍然满足我们的一般认识。

四、对空载时输入电流的理解

很多学生问一个问题，当副线圈回路空載（R=∞）时，由I2=U2R得I2=0，I1U1=I2U2可知I1=0，原线圈电流为零，变压器中磁通量为0且不变，变压器怎么可能会有输出电压呢？

其实，就是因为不知道功率因素和电感对交流电路的影响导致的，当副线圈回路空载（R=∞）时，原圈是一个纯电感，它将导致电压比电流相位超前π2，由P-=IUcosΦ，可知输入功率P-=0，另一方面，由于理想变压器原线圈自感系数L1很大，其感抗XLl=2πfL1很大，由I0=UXL1可知，此时原线圈中电流很小，但并不为0。

参考文献：

[1]秦曾煌.电工学[M].高等教育出版社，2008.

[2]陈熙谋，吴祖仁.物理选修3-2[M].教育科学出版社，2017.