凸n边形对角线分割规律探讨

张佳琪

摘 要：平面几何的学习贯彻整个中学阶段，凸n边形作为平面图形的一种占据了重要地位。对于平面图形，我们最常探讨的就是边、角、对角线的各种规律。本文就凸n边形对角线分割规律做一个简单论述。

关键词：凸n边形 对角线 平面多边形

引言

凸n边形是多边形的一种，判断一个多边形是否是凸n边形只需要把该多边形任意一条边向两边无限延长，以这条直线为界限，如果该多边形的剩余所有的边都在直线的同一边，那么我们就可以判断这个多边形就是凸n边形。

一、凸n边形对角线的条数

《义务教育数学课程标准》将"推理能力"列为十大核心词之一[1]，对于凸n边形对角线的条数问题，下面我们运用推理能力来一步步解决。对于任意一个凸n边形，如何判断其有多少条对角线。首先，根据学过的知识我们知道，从任意多边形的一个顶点出发，不能和该顶点本身还有与这个顶点左右相邻的两个顶点做对角线，且凸n边形一共有n条边，n个顶点，故从凸n边形的一个顶点出发能引出（n-3）条对角线，且n应当为大于等于3的自然数，因为组成一个多边形至少应当有3条边。又因为每一条对角线都连结了两个顶点，所以每条对角线被重复计算了两次，应当再除以2。最后我们得到关于凸n边形的对角线条数结论：凸n边形对角线的条数是f（n）=n（n-3）/2，且（ n≥3，n∈N）。

二、凸n边形对角线的交点规律

2.世纪80年代初，图论专家张忠辅教授在研究工作中提出了一个关于正N边形对角线在图形内交于多少点的问题[2]。那么在一个正n边形内，如果它任何两条对角线的交点都不重合，一共会有多少个交点呢？首先，在一个平面图形内，只有相交的两条线段才会产生交点，如果一个凸n边形对角线小于两条，那显然不会有对角线交点。而如果从一个凸n边形任取四个顶点，把他们交叉连结，一定可以得到一个交点。换句话说，就是任何一个对角线交点，总是由两条交叉的对角线组成，这两条交叉线的四个端点必然是凸n边形的顶点。所以要计算一个凸n边形的对角线有多少个顶点，就是计算在凸n边形的n个顶点中，任意选取四个顶点，一共会有多少种不同的取法。这样，一个几何问题就转化成了一个简单的统计与概率问题。

三、凸n边形对角线对图形的平面分割

通过连结对角线，凸n边形被划分成了若干个区域，如何计算这些被对角线划分的区域个数呢？

例：一个任意6邊形，顶点相连最多可以将该6边形划分成多少个区域？

解析：当n=6时这个凸多边形一共有9条对角线，首先将每间隔一个顶点的6条对角线相连结，即连结对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，此时，6条对角线将在整个6边形中间隔成一个小的6边形（图一），然后将每间隔2个顶点的对角线连结起来，得到对角线AD，BE，CF，这三条对角线两两相交并将图形中的小6边形分成了7个区域（图二）。且内外两个6边形之间的区域部分共有4×6-6个区域，所以一个任意凸6边形的对角线把该6边形一共划分成了7+4×6-6=25个内部区域。

其次，我们再讨论一下特殊情况，当这个凸6边形是正6边形时，那么将间隔一个顶点的6条对角线相连结，得到图三。再将间隔两个顶点的3条对角线相连结，得到图四，此时就会发现与任意6边形划分情况不同的是，正6边形的对角线AD，BE，CF相交于一个点0，且整个6边形一共被划分成了6+4×6-6=24个内部区域。

通过该例题，我们得到的结论是，凸n边形的对角线并非都是两两相交的，同一个顶点对应的间隔大于2的两条对角线若是相交，相交一条线就会多分割出来一个区域。且想要在图形内划分出来的区域最多，那么在凸n边形内部就不应当存在≥3条的对角线相交与同一点，只有所有对角线都排除3条及3条以上的对角线相交于一点的情况，所划分出的区域才是最多的。

结语

在解决复杂问题时，我们应当将学过的知识归纳总结起来，根据这些知识的特点加以综合应用，这样才能在碰到复杂疑难的问题时一步一步将问题解答清楚。

参考文献

[1]虞抒卉.培养学生的经验性归纳总结能力——以“多边形的对角线”教学为例[J].小学数学教师.2018（Z1）.

[2]杨之.近年中国初等数学研究的若干新成果[J].数学通讯.1994.