非饱和土壤水流问题的半离散间断有限体积元方法

陈凡

(枣庄学院数学与统计学院，山东 枣庄 277160)

非饱和土壤水运动问题[1]是指土壤水未完全充满空隙时的流动,是多孔介质流体运动的一种重要形式。假设土壤是均匀介质，各项同性。设x轴水平向右，z轴竖直向下，非饱和土壤水运动问题可归结为下述模型[1]：

(1)

其中，Q(x,z,t)是土壤水的含水率，D(Q)是土壤水的扩散率，K(Q)是水力传导系数，Sr是根系吸水率，K、D与Q的关系如下：

(2)

给出模型(1)的定界条件：

初值条件：Q(x,z,0)=Q0;

其中，Q0表示初始含水率，Qs表示饱和含水率。

根据文献[2]可知问题的解存在且唯一。基于此问题的可靠性，及其在气象学、农业环境工程、水动力学等方面的现实意义，近年来许多学者提出了求解该问题的数值方法。本文主要讨论该问题的间断有限体积元方法，此方法既具有有限体积元方法的特点，又具有间断有限元的优点，空间构造简单，计算简便，精度高，物理量间满足局部守恒，而且有限元空间无任何连续性的限制，可并行计算。本文给出了问题的半离散间断有限体积元格式，得到L2模和离散‖|·|‖1,h模的最优估计。

2 非饱和水流问题的间断有限体积元格式

图1 原始剖分与对偶剖分Fig.1 Original subdivision and dual subdivision

在原始剖分上定义间断Sobolev空间

Hm(Th)={u∈L2(Ω):u|k∈Hm(K),∀K∈Th},

(3)

在原始剖分Th上定义有限维的试探函数空间

Uh={uh∈L2(Ω):uh|k∈P1(K),∀K∈Th},

Vh={vh∈L2(Ω):vh|T∈P0(T),∀T∈Th*},

其中，Pl表示定义在单元K(T)上的次数小于等于l(l=0,1)的多项式集合。

(4)

其中，he为单元K的边界e的长度。

便于理论分析，取Q0=0。令F(Q)=P·K(Q),有

所以(1)式可以写作

(5)

在上式两端同时乘以vh∈Vh,在对偶单元上积分，关于T求和，利用Green公式得

其中，n为对偶单元T∈Th的边界∂T的单位外法向，Ti(i=1,2,3)是单元K∈Th的3个子三角形。

其中，P4=P1,P5=P2,P6=P3。

设e=∂K1∩∂K2,则[1]

根据以上均值以及跃度的定义，显然可以得到下面的结论

应用上式，并注意到[D(Q)Q·nvh]|e=0,∀e∈Γ0。所以有

对于∀Q∈H1(Ω),引入原方程解Q得Ritz投影Rh(t):H1(Ω)→Yh,0≤t≤T,满足

A(Q;Q-RhQ,rhvh)=0,∀vh∈Vh。

(6)

定义双线性形式

其中，α为待定的实常数[3]。

于是得到问题(1)的半离散间断有限体积元格式为：求Qh∈Uh，使得

(7)

由于Q是问题的解，且有[rhQ]|e=0，因此，真解满足

(8)

(9)

引理1[2]对∀uh,vh∈Uh,存在与h无关的正常数C，使得

|A(q;uh,rhvh)-A(q;vh,rhuh)|≤Ch‖|uh|‖1,h‖|vh|‖1,h,∀uh∈Uh，

(10)

|A(p;uh,rhvh)-A(q;uh,rhvh)|≤C|uh|(‖p-q‖+h‖|p-q|‖1,h)‖|vh|‖1,h,∀uh∈Uh。

(11)

引理2[3]存在与h无关的正常数β，使得

(12)

引理3[3]对∀uh,vh∈Uh,存在与h无关的正常数C，使得

A(q;uh,rhvh)≤C‖|uh|‖1,h‖|vh|‖1,h。

(13)

‖·‖是等价的，且有‖γhuh‖=‖uh‖。

引理5[4]存在与h无关的正常数C，使得

h‖|uh|‖1,h≤C‖uh‖,∀uh∈Uh。

(14)

引理6[5]若Q∈W(Ω)∩H3(Ω),当h充分小, 存在与h无关的正常数C,使得|RhQ|≤C。

3 收敛性分析

根据Ritz投影Rh的相关理论[6]，得到以下的插值性质：

‖Q-RhQ‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖(Q-RhQ)t‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖|Q-RhQ|‖≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖|(Q-RhQ)|t‖≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(15)

定理设Q,Qh分别为问题(1)和(7)的解，若Q∈H1(0,T;H3(Ω)),Qh(0)=0,则存在与h无关的正常数C，满足

(16)

证明记ρ=Q-RhQ,θ=RhQ-Qh,(7)与(8)相减，由(6)式得误差方程

(17)

在上式中取vh=θ,对左端项,由引理1得

(18)

对右端各项，由Hollder不等式、ε不等式、引理1、引理5，有估计式

其中假设

(19)

对上式两端关于t从0～t积分，并注意到θ(0)=0,由Gronwall引理有

即‖θ‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(20)

下面证明|Qh|≤C0(0≤t≤T)成立。

因为|Qh|=|Qh|L(0,T;W1,(Ω)),故其为关于t的连续函数。

当t=0，Qh(0)=0，|Qh|≤C0显然成立。

当t≠0，由连续函数的性质，存在0

当0

由于(20)对∀0≤t≤t*都成立，则由引理6得

|Qh|L(0,t*;W1,(Ω))≤|Qh-RhQ|L(0,t*;W1,(Ω))+|RhQ|L(0,t*;W1,(Ω))

≤C(h→0)。

故存在δ>0,使得当t*≤t≤t*+δ,有|Qh|L(0,t;W1,(Ω))≤C,因此结论成立。

在误差方程中取vh=θt,有

(θt,γhθt)+A(Q;θ,γhθt)=-(ρt,γhθt)+A(Qh;Qh,γhθt)-A(Q;Qh,γhθt)+(·F(Q)-·F(Qh),γhθt)。

对左端项使用引理5得

故误差方程等价于

=-(ρt,γhθt)+A(Qh;Qh,γhθt)-A(Q;Qh,γhθt)+(·F(Q)-·F(Qh),γhθt)+

=J1+J2+J3+J4+J5。

类似前面的估计有

|J2| ≤C(‖ρ‖+‖θ‖+h‖|ρ|‖1,h+h‖|θ|‖1,h)‖|θt|‖1,h

≤C(‖ρ‖+‖θ‖+h‖|ρ|‖1,h+h‖|θ|‖1,h)h-1‖θt‖1,h

对于J4、J5，由引理3、ε不等式及D(Qh)的有界性可得

整理可得

(21)

对t从0～t积分，并注意到θ(0)=0,有

所以‖|θ|‖1,h≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(22)

最后由(15)、(20)、(22)和三角不等式得证结论成立。