考虑多车型油耗因素的路网收费优化模型研究

张凯龙， 李希杰， 李自若

(北京交通大学交通运输学院，北京 100044)

随着机动车保有量逐年攀升，交通需求不断增长，道路交通中汽车的燃油消耗也将随之增加。在全国经济迅速增长的背景下，交通运输需求和服务也在逐渐扩大，使得交通运输系统的能源消耗，尤其是石油消耗，成为不可忽视的问题[1]。目前，我国的交通系统主要依赖于石油资源，并且储备不足。面对逐渐枯竭的石油资源，需从各个方面着手解决，包括交通设施建设、交通需求管理等。其中，道路收费作为主要的需求管理手段，可有效地控制出行者的路径选择，通过合理规划路网中车流量的分配，使总油耗量控制在合理的水平。

由于不同车型的百公里耗油量区别很大，所以考虑按车型不同收取不同的费用。国外在道路收费方面的研究已很深入[2-4]，但有关分车型的收费研究还较少，其中新加坡在城市内的区域范围成功进行了分车型拥挤收费[5]。国内有关分车型收费的研究主要考虑的是高速公路的网络均衡以及改扩建方面[6]，在其他道路收费方面，分车型的研究还很少，主要侧重于以环境保护为目标，并未深入考虑能源消耗方面。

现有考虑油耗因素的收费定价模型较少，对于分车型按油耗量收费的模型更是少之又少。张卫华等[7]考虑私家车和公交车双模式下的路网均衡，结合道路收费原理，建立了考虑能耗的双层收费模型。徐薇等[8]从减排的角度出发，利用一氧化碳排放的估算公式，建立了多模式混合交通网络下的双层收费模型。本文以高速公路及其相邻道路组成的公路网为研究对象，采用两阶段模型，首先建立了多车型最小油耗模型，得到路网总油耗量最小情况下期望达到的路段流量。在此基础上，建立多车型最优收费均衡模型，并采用Frank-Wolfe算法，通过寻找可行下降方向迭代求解，得到路段的最优收费值，使出行者按期望达到的路段设计流量出行，最终达到路网平衡状态下总油耗量最小的目的。最后结合算例，分析几种收费方案的优势和收费的价值。

1 油耗模型的建立

我国的车型分类目前尚没有统一、整齐的标准。总结国内外汽车分类标准，结合我国机动车分类标准中的GB/T 7258-2017[9]，从燃油消耗的角度出发，将汽车分为三类：车型一是高排量汽车，即几种大中型客货车；车型二是中低排量汽车，即小型燃油车辆；车型三是排量较低的车型，包括各种油电混合和新能源的车辆，目前这一类型小汽车虽然普及度不够，但作为交通与能源交叉学科的热门问题，在将来必定会有重大突破。

车辆油耗值等于行驶路程与单车百公里油耗值的乘积，建立公路网最小油耗模型的关键在于建立切合实际的单车百公里油耗模型。公路网油耗-车速模型的基本表达式可以写成：

F=F0×(av2+b/v+c)×(1+0.14x/C)

,

(1)

式中,F为单车百公里油耗因子，L；F0为标准条件下(车速为50 km/h)百公里的单车油耗值，L；v为速度，km/h；a,b,c为回归参数；x为流量，车/h；C为道路通行能力。

谭争伟等[10]采用大量实测数据对已有油耗模型进行修正及标定，参见表1。

表1 公路网不同车型的单车百公里油耗模型Table 1 100 km fuel consumption model for multi-vehicle on road network

表1不考虑道路条件，将几种大中型客货车(大型客车、小型货车、中型货车、大型货车)分类为车型一，将小型客车分类为车型二，不考虑集装箱型车辆。假定双车道公路自由流车速为73 km/h时，通行能力为1 400 车/h，王炜[11]给出的对应双车道公路标准化车速-流量模型为：

v=73exp(-0.000 42x)，

(2)

式中，x为流量，车/h。替换小型客车油耗模型中的速度，车型二流量-油耗模型可以表达成：

F2=7.91×(0.463 623exp(-0.000 84x2)+0.332 329exp(0.000 42x2)+0.291)×(1+0.14x2/700)，

(3)

式中,x2表示车型二的流量。用二次函数对上式进行拟合，为保证拟合结果的准确性，标定参数取到小数点后9位：

F2=0.000 001 351x22-0.000 638 340x2+ 8.755 289 281。

(4)

按照计算车型二油耗模型的方法，结合表1，可计算出大型客车、小型货车、中型货车、大型货车的流量-油耗函数表达式。再通过随机模拟将4个函数拟合成1个，得到类似车型二的流量-油耗表达式：

F1=0.000 002 492x12-0.000 071 123x1+16.914 110 016。

(5)

车型三是包括各种油电混合和新能源的车辆，很难建立统一形式的油耗表达式。但考虑到此类型车辆与小汽车对道路的占用权基本相同，采用折算系数的方式建立车型三的油耗模型：

F3=uF2，

(6)

式中，折算系数u取0.1。所以车型三的油耗模型可以写成：

F3=0.000 000 135x32-0.000 063 834x3+ 0.875 528 928。

(7)

2 两阶段收费模型

2.1 多车型最小油耗均衡模型

考虑一个给定的交通网络G=(N,A)，N为所有节点的集合，A为所有路段的集合，假设OD对个数为W，Rw为OD对w之间所有路径的集合。以路网中汽车基本油耗总量最小化为目标，可建立多车型最小油耗模型：

(8)

(9)

(10)

fr,i≥0，∀r∈Rw，

(11)

(12)

其中，

Fa,1=0.000 002 492xa,12-0.000 071 123xa,1+16.914 110 016，

(13)

Fa,2=0.000 001 351xa,22-0.000 638 340xa,2+ 8.755 289 281，

(14)

Fa,3=0.000 000 135xa,32-0.000 063 834xa,3+ 0.875 528 928。

(15)

在上述模型中，xa,i为决策变量，表示路段a上第i种车型的车流量，dw,i表示OD对w之间第i种车型的出行需求，fr,i为路径r上i型车的流量，r∈Rw。对于路段a上的i型车，当路段a在路径r上时，δar,i=1，反之，δar,i=0。

多车型条件下，约束(9)表示不同车型路段流量与路径流量之间的关联关系；约束(10)表示不同车型路径流量与OD对需求之间的守恒关系；约束(11)表示流量的非负约束；约束(12)表示路段容量限制。目标函数的意义类似于系统最优分配模型SO，表示路网油耗总量最小。

2.2 多车型最优收费均衡模型

多车型最小油耗模型的最优解代表路网油耗总量最小情况下的路段设计流量。为使出行者按上述期望达到的路段设计流量出行，需要通过收费的方式调控出行者的路径选择行为。进而建立了第二阶段收费模型，通过制定合理的收费策略，诱导出行者主动选择使系统总油耗最小的出行路径，达到降低系统能耗的目的。

。

(16)

固定需求条件下，道路收费表达成时间的形式，收费值为τmin时，用户的出行广义费用主要由两部分构成：道路收费和出行时间成本。用路段费用函数t(x,τ)表示，其中x为路段流量分布，x*为均衡状态下的流量分布。则收费方案τ条件下的交通网络均衡问题可以用如下变分不等式表示[13]：

t(x*,τ)T(x-x*)≥0，∀x∈Λ。

(17)

根据其等价Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，可以得到与该变分不等式相等价的互补约束：

(18)

(19)

当x*为系统最优条件下的流量分布时，该收费方式存在且不唯一。为了使收费方案唯一，本文建立如下多车型最优收费均衡模型：

(20)

s.t.τa1≥τa2≥τa3，

(21)

τa,i≥0，

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

在上述模型中，λw,i是OD对w间第i型车最小的广义费用(出行时间加上油耗收费),a表示路段，i表示车型,dw,i表示OD对w之间的i型车出行需求。对于第i型车，当路段a在路径r上时，δar,i=1，反之，δar,i=0。公式(21)表示不同车型收费值间的大小关系；公式(22)表示收费值为正，不考虑政府补贴；公式(23)表示收费后路网总的费用，应该等于不同车型总的出行需求乘以每个OD对间不同车型单位车辆最小的广义费用；公式(24～26)表示收费后所有路径上单位i型车辆的出行成本都大于对应OD对间的单位i型车辆最小广义费用。约束的合理性可由公式(17)的等价Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件进行证明。

可以通过验证同一OD对间所有路径的广义费用是否相同，判断收费均衡模型的最优解是否使路网流量达到平衡。平衡时，整个路网的总油耗量最小。

2.3 算法设计

该两阶段模型可以分步求解。第一阶段模型为带有线性约束的非线性规划问题，利用Frank-Wolfe算法将目标函数近似线性化，通过寻找可行下降方向进行求解。第二阶段模型目标函数和约束都是线性的，可直接求解线性规划。

利用Frank-Wolfe算法求解第一阶段非线性规划的步骤如下：

步骤一：首先选定路段初始流量分布x(0)，给定终止误差ε>0，令k=0，转步骤二。

步骤二：求解近似线性化。目标函数F(x)在x(k)处的线性逼近可表示为：

F(x)≈F(x(k))+F(x(k))T(x-x(k))。

(27)

用上式右边的线性函数代替目标函数F(x)。则在流量x(k)的领域内，可确定近似线性规划：

(28)

其等价的线性规划：

(29)

将流量通过全有全无的方法分配得到最小费用的路径，路段费用通过当前路段流量求得，即求解上述线性规划得到最优解y(k)。

步骤四：进行有效一维搜索。求解线性规划：

minF(x(k)+λp(k))

(30)

s.t. 0≤λ≤1。

(31)

解得最优步长λk。更新流量分布，令x(k+1)=x(k)+λkp(k)，k=k+1，转步骤二。

3 算例分析

选取抽象公路网络图，如图1所示，该交通网络中共有6个节点、7条路段、两个OD对(1,3)和(2,4)。每个OD对间第i型车的潜在需求设为dw,1=1 350 车/h，dw,2=1 050 车/h，dw,3=600 车/h。

图1 公路网络图Fig.1 Road network

路段参数如表2所示。

表2 路段参数Table 2 Path parameters

最小油耗模型是一个带有线性约束的非线性规划问题，可采用Frank-Wolfe算法，通过寻找可行下降方向迭代求解。使用MATLAB编程求解，得到路网流量分配如表3所示。

表3 最小油耗下的路段流量Table 3 Path traffic flow under minimum fuel consumption

将上述得到的最优解代入第二阶段模型，求解路段上不同车型的收费值，如表4所示。

表4 不同车型路段收费值Table 4 Road toll value of multi-vehicles

验证收费后OD对间所有路径的广义费用相同，如表5所示。

表5 OD对之间的最小广义费用Table 5 The minimum generalized travel cost between OD pairs

上述方案都是可行的收费方案。经过验证，同一OD对间所有路径的广义费用相同。收费方案一是满足多车型最优收费均衡模型的最优解，路网总的收费值最小；方案二是满足模型二约束的一种可行的非负收费方案。方案一虽然能使总收费最优，却不能区分不同车型的收费差别，而方案二的收费值可以看出不同车型的收费差别。并且存在可行收费方案τ3=τ1+k(τ2-τ1),k∈N，使路网达到平衡，其中τ3是τ1和τ2的任意线性组合。路网的总收益随着k的增加而增加，可以选取合适的k值，以达到道路管理者的财政收入目标。

研究结果表明，通过制定合理的收费策略能够有效地调控出行者的路径选择行为，实现系统总油耗最小的目标。

4 结论

本文从节约能源的角度出发，按耗油量不同对机动车进行分类，通过建立最小油耗模型求解出使整个路网总油耗量最小情况下期望达到的各路段流量，再利用收费策略调控出行者的路径选择行为，最终达到路网平衡状态下总油耗量最小的目的。研究结果表明，合理的收费策略能够有效地调控出行者的路径选择行为，针对不同车型可以制定多种不同的收费方案，从而实现系统总油耗最小的目标。

通过道路收费的方式可以降低交通能耗，具有一定的现实意义，如何在模型中将道路中诸多不确定性因素考虑进来将是下一步研究的主要内容。